1.Понятие мн-ва. Отнош-я м/у мн-ми. Операции пересеч и объед мн-в, законы этих операций. Понятие множества одно из основных понятий современной мат-ки и поэтому не определяется ч/з другие. Мн-во- совок-ть объектов,предметов и понятий,кот. объединены на основе какого-нибудь признака(мн-ва натур.чисел,треугольн). Объекты из кот состоят мн-ва – наз-ся его элементами. Мн-во обозначают большими буквами лат алфавита: А,B,C,D, а его элементы – малыми: a,b,c,d. Мн-во может иметь:бесконечное число эл-тов(мн-во натур чисел,целых чисел, действительных); конечное число эл-тов( мн-во однозначных чисел); не иметь ни одного эл-та( мн-во действительных корней уравнения х²+3=0). Мн-во, кот не содержит ни 1-го элемента наз пустым. Два мн-ва наз.равным, если они содержат одни и те же эл-ты. Мн-во В наз.подмн-вом мн-ва А, если кажд.эл-т мн-ва В явл.также и эл-том мн-ва А.Обознач.ВсА(ВсА<=>хєВ=>хєА) Пустое мн-во явл.подмн-вом любого мн-ва.Любое мн-во явл. Подмн-вом самого себя. Если мн-ва не имеют общих эл-тов, то говорят, что они не пересекаются. Если мн-ва им.хотя бы один общий эл-т, то они пересекаются. Любое мн-во можно показать графически при помощи кругов Эйлера или деограмм Венна. Мн-во наз. универсальным, если в данной ситуации все остальные рассматриваемые мн-ва явл. Его подмн-вами. Обознач.лат.буквой И. (Пусть А мн-во книг в библиотеке, В-книги по матем,С-по биологии,Д-по геометрии) Пересечением мн-в А и В, наз.мн-вом, кот. Входят те и только те эл-ты, кот. Одновременно принадлежат мн.А и мн.В.Обознач. ∩ А∩В={хєА и хєВ}

(Пример1:А-однознач.чисел; В-мн.натур.ч.,кратных 3 А∩В –одн.ч.кр.3 Пример2:А={1,2,7,9} В={3,5,7,9,15} А∩В={7,9})

Законы операции пересечения мн-в: 1.коммутативность-это мат.название переместительного св-ва.

А∩В=В∩А(св-во => из определения операций пересеч.мн-в) 2.Ассоциативность-сочетательное св-во.

А∩ ( В ∩С)=(А∩ В) ∩С(доказыв.на кругах Эйлера)

3.А∩А=А,А∩Ø=Ø,А∩И=А ВсА,А∩В=В

Объединение мн-в А и В наз.мн-ва,кот.состоит из эл-тов, кот. Принадлежат хотя бы одному из данных мн-в. АUВ АUB={xєA или хєВ}

Св-ва: 1.коммутативность АUB=BUA (док-во =>из опред.объединения мн-в)

2.ассоциотивность AU(BUC)=(AUB)UC(док-ся на кругах Эйлера)

3.AUA=A, AUØ=A,AUИ=И BcA, AUB=A

4.дистрибутивность 4.1. AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)

4.2. A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C) Мн-ва быв-т конеч-е и бескон-е. Отношения мн-ва: 1) пересеч-я (если элементы принадлежат к 1-му и 2-му мн-ву одновр-но); 2) включения (подмн-во, если каждый элемент 1-го мн-ва явл элементом 2-го мн-ва); 3) равенства (если 2 мн-ва состоят из одних и тех же элементов).

2. Вычитание мн-в, дополнение к подмн-ву,декартово произаед-е 2-х мн-в и их св-ва.

Разностью двух мн-в А и В наз-ся такое мн-во,в кот.входят эл-ты, кот.принадлежат мн-ву А и не принадлежат В. Разность мн-в обозн-ся А\В . (А={a,b,c,d,f,e}B={m,k,f,e,l,p} А\В={a,b,c,d})

Для любых мн-в А,В,С истинными явл.след.равенства(св-ва): 1. А\(В∩С)=( А\В) U(A\C) 2. А\(BUC)=( А\В)∩(A\C)

Док-во: 1). xєA\(B∩C)=>xєA∩xє(B∩C)=>xєA∩(x¢BUx¢C)=>( xєA∩x¢B)U(xєA)∩( x¢C)=>( xєA\B)U(xєA\C)=> (A\B) U(A\C)

2).xє(А\В)U(A\C)=>xє(А\В)Uxє(A\C)=>(xєA∩x¢B)U(xєA∩ x¢C)=> xєA∩( x¢BUx¢C)=> xєA∩(x¢B∩C)=> xєA\ (В∩С)

Пусть ВсА мн-ва всех элементов А,кот.¢В наз. Дополнением В до А.Обознач. В'_А (В¯_А) ' В'_А={х| xєA∩ x¢B , ВсА }

Дополнение В до универсального мн-ва обознач-ся В'. Для любых сА∩В,универсальн.мн-ва И имеют место след.равенства(св-ва):1). (А∩В)'=А'UВ' 2). (АUВ)'= А'∩В'

Декартовое произв-е 2х мн-в. Каждый элемент входит во мн-во только 1 раз,при этом порядок записи элементов м/б разным. Однако,часто приходится учитывать и порядок в кот наход-ся данные элементы (напр, 742 и 427-мн-во цифр одинаково, а числа разные). Вводится новое понятие кортеж-конечная упорядоченная последоват-ть (кот допускает повторение) элементов какого-нибудь мн-ва. Элементы кортежа закл-ся в круглые или ломаные скобки. Кол-во элементов в кортеже назыв-ся его длиной, а сами элементы компонентами или координ кортежа. 2 кортежа назыв-ся равными, если имеют одинак-ю длину и их соотв-е эл-ты равны. (а₁,а₂,…а_n)=(b₁,b_2,…b_n) <=> n=k, a₁=b₁,a₂=b₂,…a_n=b_k Декартовое призв-е и их св-ва. Декарт-м призвед-м 2х мн-в А и В наз-ся мн-ва всех возможных пар, первая компонента кот. принадлежит мн-ву А, а вторая мн-ву В.

А·В А={1,2,3}·В={4,5} А·В={(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)}

В·А={(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)}

А·А={(1,2),(1,3),(1,1),(2,2),(2,3),(2,1),(3,3),(3,2),(3,1)}

Св-ва декартового произведения:

1) если А≠В,то А·В=В·А,это =>из того,что пара(а,в)≠(в,а)

2) если ни одно из мн-в АВС не пустое,то А·(В·С)≠(А·В)·С =>(а,(в,с))≠((а,в)с)

3)декартовое произв. мн-в дистрибутивно отнош. объединениям, пересечениям, разности мн-в (как слево,так и справо)

а) А·(ВUС)=(А·В) U(А·С) (ВUС)·А=(В·А)U(С·А)

б) А·(В∩С)=(А·В)∩(А·С) (В∩С)·А=(В·А)∩(С·А)

в) А·(В\С)=(А·В)\(А·С) (В\С)·А=(В·А)\(С·А)

Декартовое произв. 2ух мн-в удобно записывать в виде таблицы, где по вертик.располож.эл-ты первого мн-ва, а по гориз. Второго мн-ва.

Понятие кортежа даёт возможность рассматривать декартовое произв.3,4…..n мн-в

A₁∙A₂·….A_n={(a₁,a₂,…a_n)|a₁єA₁,a₂єA₂,….a_nєA_n} если А₁=А₂=….=А_n,то можно записать Аⁿ – декарт.n-ая степень А·А=А² – декартовый квадрат

3. Понятие комбинаторной задачи. Правила + и *. Перестановки, размещения без повторений и с повторениями, сочетание без повторений. Направление матем-ке, кот. Рассматрив.задачи связ.с комбинированием эл-тов мн-ва наз. комбинаторикой. В основе всей теории лежат 2 осн правила: прав-ло суммы и произвед-я. Правило + позволяет найти число элементов в объединении 2х или неск-х конечных мн-в, кот попарно не пересек-ся. 1) А∩В=Ø n(АUВ)=n(A)+n(B)

А∩В≠Ø n(АUВ)=n(A)+n(B)- n(A∩B)

2) А∩В∩С≠Ø

n(А∩В∩С)=n(A)+n(B)+n(С)-n (A∩B)- n(В∩С)-n(А∩С)+n(А∩В∩С)

Комбинаторное правило + формулировка: если выбор одного эл-та из объедин. k непересекающихся мн-в можно выполн.р₁ разными способами, другого- р₂ разными способами и т.д…..k-го pk разными способами отличными от предыдущих, то выбрать можно р₁₊ р_2+…..pk способами.(Пр: В коробке лежат 7 разл.мячей и 9 разл.кукол.Сколько сущ.способов выбора из коробки 1-ой игрушки? Реш: Т.к. 1 мяч можно выбрать 7-ью способами,1-у куклу 9-ью способами, то на оснав. Правила суммы 1-у игрушку из коробки можно выбрать 7+9=16(сп.))

Правила нахождения числа эл-тов декартового произвед. k мн-в в матем-ке наз. правилом произведения. n(x·y)=n(x)·n(y)

n(A₁·A₂·….·A_n)=n(A₁)·n(A₂)·….· n(A_n)

Правило произведения: если первый эл-т можно выбрать а₁ способами, после этого второй а₂ и т.д…..n-ный эл-т после выбора всех предыдущих эл-тов можно выбрать а_n способами, то упорядочен. n-ку эл-тов из всей совокупности можно выбрать а₁· а₂·…· a_n способами.(Пр: В коробке лежат 7 мячей и 9 кукол. Сколькими способами из коробки можно выбрать пару 1 мяч и 1 куклу?Реш: Кол-во всех способов 9·7=63(сп.))

Мн-во наз упорядоч-м,если его элементы расположены в определ. порядке. Кортежем наз. упорядочен. n-ка эл-тов.В отличие от кортежа в уроряд-м мн-ве все элементы различны.Различ-е упорядочения одного и того же мн-ва состоят из одних и тех же элементов и отлч-ся только порядком элементов.

Все возможные упорядоченные мн-ва составленные из данных n эл-тов наз. перестановками без повторений. Кол-во перестановок из n эл-тов будет обознач. P_n

Теорема: Кол-во перестан.без повторений n-элем-го мн-ва опред-ся по формуле Р_n=n!, где Р_n-это число перестановок из n-элементов n!- n-факториал, n!-произвед-е все N от 1 до n (1, 2, 3… n) (напр. 3! – 1·2·3=6.). Принято считать, что 0!=1, 1!=1

Док-во: Упорядочен.эл-тов мн-ва состоит в том, что на 1 место можно поставить любой эл-т мн-ва, зн. выбор 1 эл-та можно сделать n способами. Когда 1 эл-т выбран, то на 2 место можно поставить любой из оставшихся n­1 эл-т. Это значит, что 2 эл-т можно выбрать n­1 способами и т.д. n-ный эл-т можно выбрать 1 способ. По комбинаторному правилу произвед. получаем, что общее кол-во способов упорядочения n-элем-го мн-ва равно

n·( n­1) ( n­2)·…·2·1= n! P_n=n! (Пр: На сцене в один ряд стоят 5 стульев. Сколько сущ.способов, чтобы на них посадить 5 выступ.чел. P₅=5! =1·2·3·4·5=120 способов)

Размещение без повторений из n эл-тов по k эл-тов наз.каждое упорядоченное k элементное подмн-во данного n эл-ного мн-ва. Обознач. А^k_n

Теорема:Кол-во размещений без повторений из n-эл-тов по к-элем опред-ся по формуле. A = .

Док-во: Выбор 1 эл-та k эл-ного упорядоченного подмн-ва можно сделать n способами. Если 1 эл-т выбран, то 2 эл-т можно выбрать n­1 способом, 3 эл-т n­2 способами и т.д. k эл-т после выбора пред.можно выбрать n­( k ­1) способами. Тогда выбор k эл-тов по правилу произведения можно сделать n·( n­1)( n­2)·…·n(k­1).

(Пр:Сколько 4-х знач. N чисел можно составить из различных цифр 1,2,4,5,8,9. Нам необх.найти сколько 4-х значн.упорядочен. подмн-в можно составить из 6-ти элем-го мн-ва

A⁴₆=

Сочетанием без повторений из n по k эл-тов наз.каждое k эл-го подмн-во данного n эл-го мн-ва. Обознач. С

Теорема: кол-во сочетаний без повторений из n-элем-ов по k эл-тов вычисляется по формуле С . Кол-во упорядоченных k-элем-х подмн-в данного n-элем-го мн-ва выч-ся по формуле A = . А кол-во неупоряд-х подмн-в будет в k! раз меньше, чем кол-во упорядоченных т.к. каждое неупоряд-е k эл-ное подмн-во можно упорядочить k!-факториал различными способами. Т. о. С = = . (Пр:Сколькими способами можно выбрать 3 ленты разл.цветов из 6 разных цветов. Реш: т.к. порядок выбора лент не имеет знач.,то в задаче речь идёт о трёх эл-ных подмножествах шести элем-го мн-ва, т.е. о сочетаниях без повторений.

С³₆= )

а)Размещения с повторениями из n эл-тов по k эл-тов наз. кортеж длины k составленный из эл-тов n-элементного мн-ва (k м/б n). Кол-во размещ-й из n-элем по k обозн-ся .

Теорема: кол-во размещ-й с повторен-ми из n-элем выч-ся по формуле =n^k. (Пр: сколько всего 5-ти значных N чисел можно сост.из цифр1,2,3,4,5,6,7,8,9 А⁵₈=8⁵)

б)При решении ряда задач бывает необх.рассмотреть перестановки мн-ва где некоторые эл-ты повторяются(Например из цифр числа 75138 можно составить 5! все возм. пятизначных чисел. А из цифр числа 23221 только 20)

Перестановки с повтор-ми из n эл-тов наз каждый кортеж длины n, n-элем-го мн-ва. Обозн-ся P¯_n.

Теорема: кол-во различных перестановок с повтор-ми n-элем мн-ва, в кот один из элементов повтор-ся n₁ раз, 2-й элемент n₂ раз и т д, к-й элемент повтор n_k раз вычисл по формуле P¯_n= .

(Сколько слов кот. Отлич. Только размещ. Букв можно составить из букв слово литература А₁₀= = 453600)

4. Понятие высказывания. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций. Логика-это наука о законах и формах мышления о схемах рассуждения. Осн.понятием в матем.логике явл. Высказывание.Высказывание-это предложение относит-но которого можно утверждать истинно оно или ложно.

(18-чётное число-оно Истинно, 7-простое число-И,12кратно 5- Ложь, х четное число-не высказывание)Высказывания делятся на элементарные и составные. Элементарные- это высказыв., кот. Рассматрив. Как целое не раздельное на части. Составные-высказ., кот.сост.из элементарных при помощи логических связок.(Пр: число 8-целое-элемент.выск; число 28-четное и делится на 7-составное выск.) Высказывания обознач. большими буквами лат. алфавита. Каждое высказ. Имеет одно из двух значений. И-истинно, Л-ложно. Операция образования составного высказывания из элементарных наз.-логической операцией. Составные высказывания получают из элементарных с помощью логических операций: отрицание, конъюнкции, дезъюнкции, эквиваленции, импликации.

Конъюнкция двух выск-й А и В наз составное высказ-е «А и В» истинное тогда и т т, к оба высказ-я А и В истинны и ложно если хотя бы 1-но из высказ-й ложно. Обозн-ся А٨В.

таблица истинности

А В А٨В

И И И

И Л Л

Л И Л

Л Л Л

Можно находить конъюнкцию 3 или несколько высказываний,аналогично. Она будет истина т и т т, если одновременно истинны все высказывания, кот входят в нее.

(Высказывание-число8-чётное и составное-И; )

Дизъюнкцией двух высказ-й А и В наз составное высказ-е А или В, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказ-й и ложно, если оба высказывания ложны обозн-ся А ٧ В.

А В А٧В

И И И

Л И И

И Л И

Л Л Л

Из данного высказ. А наз. высказ. не А истинное когда А-ложно, и ложное когда А-истинное . Обознач. А¯

Законы: 1) коммутативный (переместительный) з-н А∩В=В∩А; АUВ=ВUА;

2) ассоциативный (сочитательный) А∩(В∩С)=(А∩В)∩С; АU(ВUС)=(АUВ)UС;

3) а) дистрибутивный з-н коньюнкции относит-но дизьюнкции А∩(ВUС)=(А∩В)U(А∩С)

б) дистрибутивный з-н дизьюнкции относит-но коньюнкции АU(В∩С)=(АUВ)∩(АUС);

4) Пусть И- заведано истинное высказывание, а Л-ложное высказ.

А٨Л=Л; А٧Л=А;

А٨И=А; А٧И=И;

‗ _

А=А-закон двойного отрицания; А ٨А -закон противоречия.

Данное равенство показывает, что любое высказывание не может быть одновременно И и Л.

_

А ٧ А=И –закон тавтологии

В составных высказ.без скобок операции выполн. в след.порядке: отрицание,конъюнкция,дизъюнкция,импликация,эквиваленция.

Если без скобок записаны последовательно несколько операций, то они выполняются слева направо.

5. Отрицание, импликация и эквиваленция высказываний, законы этих операций. Отрицанием высказыв-я А наз-ся высказ-е «не А», кот явл истинным, если А-ложно и ложным, если А-истинно, обозн-ся (не правда, что

=_А=А –закон двойного отрицания

(Пр: А_n 17- прост.число-И ; ¯А_n 17- не прост.чис.-Л;

=_Аn -не правда, что 17-не прост.числ.-И)

А). Импликацией наз составное высказыв-е, «если А,то В». Ложно т и т т, если А-истинно, а В-ложно. В остальных случаях импликация истинна. Обозн =>

(Пр: Если число 12 кратно 4, то 36 кратно 9 –И; Если 18 делится на 2, то 18 дел.на 4-Л)

Виды:

1) А В-прямая; А-условие,В-заключение

2) В А-обратная (меняем местами условие и заключение);

3) Из - противоположная данной (строим отрицание условия и заключения в прямой теореме);

4) Если - обратная противоположной.

Закон антропозиции

А=>В≡ =>

В=>А≡ =>

Эквиваленцией наз составное высказыв-е А т и т т , когда В, оно истинно, если оба высказывания истинны или оба ложны и ложно, если высказ-е А и В имеют разные значения истинности. Обознач. А<=>В(Пр:число 164 кратно2 т и т т,к его запись заканчивается чётной цифрой –И; число 164 кратно2 т и т т,к сумма цифр не делится на 2-Л)

Закон для отрицания высказывания: 1) закон двоиного отрицания (А= );

2) з-н противоречия А =Л;

3) з-н исключения третьего А˅ =И;

4) з-н де Моргана а) = ˅ ; б) А˅В= ˄ .

Законы для импликации:

1. з-н, кот связыв-т импликацию с отрицат и дизьюнкцией высказываний.

А ˅В;

2) з-н контрапозиции А В≡ ;

3) з-н эквиваленции связывает коньюнкцию импликации

А В ≡ А В)(В А).

6. Понятие предиката. Конъюнкция,дизъюнкция,отрицание,импликация и эквиваленция предикатов, их мн-ва истинности. Предикат-это предложение с одной или несколькими перемен-ми и кот при конкрет-х значениях перемен-х превращ-ся в высказыв-е. по числу переменных, входящих в предикат выделяют: одноместные, двуместные и т д. преликаты. С каждым предикатом связаны 2 мн-ва: 1-мн-во определения предиката (обознач-ся х-это мн-во тех значений переменной, при кот предикат обращ в высказывание); 2-мн-во истинности предиката-это мн-во тех знач переменной из области определения при кот предикат превращается в истинное высказывание Т . обноместные преликаты обозн А(х), х Х(читается- на мн-ве А задан предикат) (напр. А(х): число х-простое). 2 предиката А(х) и В(х) заданные на одном и том же мн-ве х наз-ся равносильным (эквивалентным), если они имеют одно и тоже мн-во истинности и запис-ся А(х) В(х).(напр А(х):х+2=4, х N; В(х): -4=0,х N. = , А(х) В(х)). Предикаты: элементные, составные. Состав-е образовыв-ся из элементарных при помощи логически связанных высказываний. Отрицанием предиката А(х) наз-ся предикат не А(х),записанный на том же мн-ве х. он истинен при тех значениях, при кот предикат А(х) ложен. Конъюнкцией А(х) и В(х) наз-ся составной предикат А(х) и В(х) заданный на том же мн-ве х. Он истинен когда одновременно истинны оба предиката А(х) и В(х). Мн-во истинности конъюнкции предиката А(х) и В(х) явл перечисление мн-в истинности предикатов. Дизъюнкцией наз-ся составной предикат А(х) и В(х) задан на том же мн-ве х. А(х) В(х) / А(х) или В(х), х Х. он истинен тогда, когда хотя бы 1-н из предикатов истинен. Импликацией наз-ся составной предикат А(х) В(х), ели А(х), то В(х) задан на том же мн-ве х. Он ложен когда А(х)-И, а В(х)-Л, при остальных И. Эквиваленцией наз-ся составной предикат А(х) В(х), х Х. Истинно только когда оба И или оба Л, при остальных ложно.

7. Матем-е понятия. Объем и содерж-е понятия. Способы определения понятий. Требования к определению понятий. Объем понятия-это мн-во объектов, обозначаемых одним и тем же термином. Если объем понятия А явл частью объема понятия В ( ) ) понятие А наз-т видовым по отношению к понятию В, а понятие В родовым по отношению к В (напр. Понятие ромб явл видовым понят-м параллелограмма, а понятие параллелограмм это родовое понятие для ромба). Содерж-е понятия-это совокупность св-в данного понятия. М/у объемом и содерж-м понятия сущ-т связь:чем больше объем понятия, тем меньше его содержание. Чем больше содержание тем меньше его объем. Понятие-логич-я операция, кот раскрывает содержание понятия. Осн сп-бы определения понятий: 1) определение понятия ч/з род и видовое отличие. При этом СП-бе указыв-ся более общее родовое понятие, а затем указыв-ся видовое отличие, то св-во кот выделяет данный вид издр видов данного рода. Определение понятия = родовое понятие + видовое понятие (напр. Квадрат=это прямоугольник, у кот все стороны равны); 2) генетические. Указывает на происхождение понятий(сфера, окружность…); 3) аксиоматический сп-б-определение понятия ч/з с-му аксиом; 4) индуктивный сп-б. Это сп-б получения все элементов понятия арифм и геометр прогрессии; 5) контекстуальные определения. Опред-е понятия ч/з текст; 6) Остенсивные определения- определение понятия ч/з демонстрацию. Осн требования к опред понятий: 1) определяемое и определяющее понятие д/б соразмерным (их объемы д совпадать); 2) в определении понятия д/б указаны св-ва, кот позволяют выделить данный объект среди мн-ва др объектов; 3) отсутствие в отрицании избыточности; 4) запрещается порочный круг. Нельзя определить понятие ч/з само себя или понятие определить ч/з другое ч/з первое; 5) определяемый объект д существовать.

8. Понятие об уравнении с 1-й переменной и мн-ве его решений. Равноильные уравнения. Теоремы о равносильных уравнениях. Пусть f(х) и g(х)-выражения с 1й переменной, заданные на мн-ве х предикатами вида f(х)=g(х), заданный на мн-ве х наз-ся уравнением с 1й переменной. (напр. 2х+3=3х-8,х R).корнем уравнения наз-ся значение переменной из области определения при кот ур-ие преврашается в верное числовое равенство. Решить уравнение, значит найти мн-во корней этого уравнения. Уравление (х) явл следствием уравн-я (х), если мн-во корней 2-го уравн-я явл подмн-м мн-ва корней 1-го уравн-я или уравн-е (х) явл следствием уравн-я (х), если каждый корень 2-го уравн-я явл корнем уравн-я 1-го. (2) (1). Теорема 1 о равенстве уравн-й и следствия из них. Если к каждой части уравн-я n f(х)=g(х) заданных на мн-ве х, прибавить одно и тоже выражение с переменной, n(x), заданное на том же мн-ве х, то получим уравн-е f(x)+h(x)=g(x)+h(х) равносильно данному. Следствие из теорем: 1) к каждой части уравн-я м прибавить одно и тоже число; 2) слагаемы в уравн-и м переносить из одной части уравн-я в другую с противоположным знаком. Теорема 2. Если каждую часть уравн-я f(х)=g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выражение h(x) заданного на томже мн-ве х и не равно 0, то получим уравнение f(x)*h(x)=g(x)*h(х) равносильно первому. Следствие: обе части уравн-я м умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля.

9. Понятие о нер-ве с 1й переменной и мн-ве его решений. Равносильные нер-ва. Теоремы о равносильных нер-вах. (Напр 1-х 3х-2,х Х – это предложение явл предикатом, такие предикаты наз-т нер-ми с 1й переменной). Предикатом вида f(х) g(х) или f(х) g(х) заданный на мн-ве х наз-ся нерав-м с 1й переменной. Мн-вом решений нер-ва f(х) g(х) заданным на мн-ве х наз мн-во истинности этого предиката, а каждый элемент этого мн-ва наз-ся решением нер-ва. Значение перемен-й х=а, при кот нер-во превращается в истинное числовое нер-во назыв его решением. Если кажд решение 1го нер-ва явл решением 2го нер-ва, то 2-е нер-во наз следствием 1го. 2 нер-ва наз равносильными, если их мн-во решений совпадают. Теорема 1 о равносильности нер-в. Если в каждой части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве прибавить одно и тоже выражение с переменной h(x), x Х, то получим нер-во f(x)+h(x)=g(x)+h(х) равносильное исходному. Следствие из теоремы: 1) если к каждой части нер-ва прибавить одно и тоже число, то получим нер-во равносильное данному; 2) члены нер-ва м переносить из 1й части в другую с противопол-м знаком. Теорема 2 Если обе части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выражение с переменной h(x) заданное на томже мн-ве х и положит-е на нем, то получим нер-во f(x)*h(x) g(x)*h(х) равносильное исходному. Следствие из теоремы: если обе части нер-ва умножить на одно и тоже положит-е действительное число, то получим нер-во равносильное данному. Теорема 3 Если обе части нер-ва f(х) g(х) заданного на мн-ве х умножить на одно и тоже выраж-е с переменной h(х) заданного на том же мн-ве х и отрицательное на нем, то получим нер-во f(x)*h(x) g(x)*h(х) равносильно данному. Следствие: если обе части нер-ва умножить на одно и тоже отрицат-е действ-е число и при этом знак нер-ва поменять на противопол-й, получим нер-во равносильное данному.

10. Бинарные отношения м/у элементами 2х мн-в, сп-бы из задания. Виды отношений м/у элементами 2х мн-в. Бинарным соответствием м/у элем-ми мн-в х и у наз любое ( декартово произ-е этих мн-в. Обознач-ся больш буквами лат алфавита, обычно не первые а кот стоят в конце алфавита (R,S,T..). для задания соответствия м/у элементами мн-в х и у надо указать ( дек-во произв-е х и у – это подмн-во обознач-ся Г. Соответствие – упорядоченная тройка мн-в, где (Х, У, Г), где Г(х*у. если а и b элементы мн-в Х; У, т. е. а х, b у и элемент а наход-ся в соответствии R с элементом b, то это запис-ся- aRb, (a,b) R(элемент а наход-ся в соотв-и Rс элементом b). Мн-во х наз-ся мн-ом отправления соответствия R, а мн-во у мн-ом прибытия соответст-я R. Мн-во 1х компонентов пар, кот соответ-ю R наз областью опред-ия соответствия, а мн-во др компанентов пар наз мн-ом значений соответствия. Т. к. соотв-е это мн-во, то его м задать теми же сп-ми, что и любое мн-во . 1) Если мн-во х и у конечные, то соотв-е м задать перечислением. Форма записи пар м/б различной: а) в виде мн-ва; б) таблицы; в) графа; в виде рисунка, в кот мн-во х и у показывают авалами. Элементы мн-в х и у обозн-т авалами, элементы обозн-т точками, а соответствие стрелками. 2) указание характеристич-го св-ва всех пар, кот соответствию R. 3) если мн-во х и у числовые, то соответствие м/у элементами этих мн-в м задать при помоши графика на координатной пл-ти. Соответствие R наз полным, если график Г совпадает с декартовым * мн-в (х;у) (Г=х;у). Если график соответствия R есть пустое мн-во, то соответствие R наз пустым. Соответствием, обратным соответствию R м/у элементами мн-в (х;у) наз соответствие м/у мн-ми у и х такое, что У Х тогда и т т , к х R у. для того, чтобы получить обратное соответв-е необходимо поменять местами компаненты пар. Для того, чтобы построить граф обратного соответствия достаточно поменять направление всех стрелок в графе в соответст-и с R. Если мн-во х и у числовые, то графики соответст-я R симметричны относительно биссектрисы 1го и 3го координат-х углов. Соответст-е, график кот явл дополнение-м графика соответст-я R до декарт-во * мн-в х и у наз противопол-м для соответст-я R и обознач-ся . соответст-я наз взаимнопротивопол-м. Графики взаимнопротивопол-м соответствий не пересекаются, а их объединения есть мн-ва.

11. Бинарные отнош-я м/у элементами 1го мн-ва. Св-ва отношений. Отношения эквиваленции и порядка. Если мн-во х и у совпадают, то говорят не об соответствии, а об отношениях м/у элементами мн-ва х. Бинарным отношением м/у мн-ми наз всякое подмн-го Г декартово * мн-в Х*Х. Т. о. бинарное отношение R, заданное на мн-ве х-это пара мн-в (Х;Г), где х-это мн-во задания отнош-я R, а Г-график отношен-я R и график (Г(Х*Х). Т.к. отношение – есть частный случай соответствия, то все сказанное выше соответствия остается истинный и для отношений. Св-ва отношений: 1) отношение R на мн-ве х наз рефлексивным, если любой элемент из мн-ва х находится в отношении R с самим собой; 2) отношение R на мн-ве х наз антирефлексивным, если ни один элемент мн-ва х не наход-ся в отношении R с самим собой; 3) отношение R на мн-ве х наз симметрич-м, если для любых 2 элементов х и у из мн-ва х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х; 4) отношения х на мн-ве R наз антисимметричным, если для разным элементов х и у из мн-ве х из того, что элемент х наход-ся в отношении R с элементом у, следует, что элемент у не наход-ся в отношении R с элементом х; 5) отношение R на мн-ве х наз транзитивным, если для любых элементов х;у;z из мн-ва х, из того , что элемент х наход-ся в отношении R с элементом у, а элемент у нах-ся в отношении R с элементом Z, следует что элемент х наход в отнош-и R с элементом Z. Отношением эквиваленьности – если оно рефлексивное, симметричное, транзитивное. Примером отнош-я эквивалентности явл отношение параллельности на мн-ве прямых пл-ти: 1) любая прямая параллельна самой себе, данное отношение рефлексивно; 2) если а b, то b‖а, отнош-е симметрично на мн-ве прямых; 3) если а‖b, b‖c, a‖c, отношение транзитивно. Каждое отношение эквивалентности разбивает мн-во, кот оно разбивает на классы. Отношение R на мн-ве х наз отношением порядка, если оно на этом мн-ве облад-т свойствами антисимметричности и транзит-ти Св-ва: антирефлексивно, антисимметр-но, транзитивно. Различают порядок строгий и нестрогий. R на мн-ве х наз отношением строгого порядка, если оно антирефл, антисимметр, транзит. Отнош-е R наз отнош-е нестрогого порядка, если отнош-е Rрефлек, антисимм, транзит. Порядок бывает линейным и частичным. Отнош порядка R (строгого или нестрогого) на мн-ве х наз отнош-м линейного порядка, если оносвязное, т е любые 2 элемента из мн-ва х связаны этим отношением. Если отнош-е R таким св-вом не обладает, то его наз частичным

12. Фунциональные отношения. Числовые функции. Прямая и обратная пропорциональности, их св-ва и графики. Прямая прапорц-ть – наз ф-ция, кот м/б задана при помощи формулы вида y= , где х- независимая переменная, а R-действительное число. Для того, чтобы найти коэффициент пропорциональности R, достаточно знать пару соотв-х значений(х;у), за исключ пары (0;0), т к R= . Св-ва: 1) область определ (Д). Д(у)= R; 2) Мн-во значений (Е). Е(у)= .; 3) Ф-ция нечетная у(-х)=-у(х). Док-во: у(-х)= R(-х)=- Rх=-у(х); 4) прямая пропорц-ть при к=0 явл постоянной у=0. При к>0 –возраст; при к<0-убывающая; 5) если задана прямая пропорц-ть у= Rх и 2 пары соотв-х значений переменных ( ; ) и ( ; ), то имеет место равенства: = ; 6) График ф-ции у=Rх есть прямая, проходящая ч/з начало координат. Обратная пропорц-ть наз ф-ция, кот м задать формулой вида у= , где х-независимая переменная, а R-действ-е число 0. Число R-наз коэф обратной пропорц-ти и R=ху. Св-ва: 1) Д(у)=(- ;0) (0;+ ); 2) Е(у)=(- ;0) (0;+ ); 3) ф-ция нечетная у(-х)=-у(х); 4) на интервале от (0;+ ) ф-ция убывает, при R 0, возрастает при R 0. 5) основ-е св-во обратной пропорц-ти. Если задана обратная пропорц-ть у= и 2 пары переменных ( ; ) и ( ; ), то имеет место равенство / = . Док-во: пусть = , = , тогда : = . 2 величины наход-ся в обратной пропорц-й зависим-ти, если с увелич-м (уменьшен-м) в неск раз одной из них вторая уменьш-ся (увелич-ся) во столько же раз. 6) графиком обратной пропорц-ти явл гипербола.

13. Понятие об алгебраической операции. Законы коммутативноти и ассоциативности алгебраических операций. Дистрибутивные законы, связывающие 2алгебраические операции. Нейтральный, поглощающий, симметричный эл-ты.

Определение: Алгебра-ой операцией на мн-ве х наз. отображение (х:у)-> Z кот. ставит каждой упорядоченной паре (Х:У) этого мн-ва третий эл-т Z этого же мн-ва. Закон коммутативности: алгеб. опер. Наз. коммут. Если рез-т ее применения не зависит от порядка компонента, т.е. для 2х эл-ов (а;в)€х вп-ся рав-во а*в=в*а.

Закон ассоциа-ти: алгеб. опер. на мн-ве Х наз. ассоц-ой, если для любых 3 эл-ов выпол-ся рав-во (а*в)*с=а*(в*с). Закон дистрибутивности:

Ноль это нейтральный эл-т относ-но опер-и сложения, а 1- относ-но опера-и умножения. Эл-т е из мн-ва х наз. нейтральным относ-но операц-и *, если для любых эл-ов а€х выпол. Равен-во а*е=е*а=а. Поглощающий эл-т: Число 0 отыгрывает особую роль не только отно-но опер-и слож-я, но и относ-но опер-и умнож-я. А*0=0. Говорят, что 0 явл. поглощ-м эл-ом относ-но опер-и умнож-я.Во мн-ве х не м/б 2х разных поглощ-х эл-ов отно-но опер-и *. Симметричный эл-т: Пусть во мн-ве х сущ. нейтрал. эл-т Е отно-но опер-и *. явл.симметр., а если выпол. рав-во а*а=а*а=l.