15. Момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Момент инерции твердого тела

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной вертикальной оси. Чтобы удержать ось от перемещений в пространстве, заключим её в подшипники. Опирающийся па нижний подшипник фланец Фл , предотвращает передвижение оси в вертикальном направлении . Абсолютно твёрдое тело можно рассматривать как систему материальных точек с неизменным расстоянием между ними. Линейная скорость элементарной массы равна , где -расстояние массы от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение . Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей. . Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения - момент инерции твёрдого тела..Слагаемые этой суммы представляют момент инерции материальной точки относительно оси вращения - момент инерции материальной точки относительно оси вращения. Размерность момента инерции [ I ]= 1 кг . Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. – уравнение вращательного движения тела. Произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно неподвижной оси вращения.

16. Работа при вращении тела. Условия равновесия твердого тела.

Рассмотрим действие внешней силы , приложенной к точке массой . За время элементарная масса проходит путь . Работа силы на этом пути определяется проекцией силы на направление перемещения, которая очевидно, равна тангенциальной составляющей силы. . Но равна модулю момента силы относительно оси вращения. Работа , и будет положительна, если имеет такое же направление, как и отрицательное, если направление векторов и противоположны. . С учетом, что . Работа всех сил, приложенных к телу

. Полная работа

17. Теорема Гюйгенса - Штейнера. Момент инерции и кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Момент инерции тела относительно нецентральной оси. Теорема Штейнера. Пусть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией (1), где I - момент инерции тела относительно данной нецентральной оси . Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной нецентральной оси . Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых. (2); где - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем - теорема Штейнера. Теорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями : Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Линейная скорость элементарной массы равна , где -расстояние массы от оси вращения. Следовательно, для кинетической энергии элементарной массы получается выражение . Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела складывается из кинетических энергий его частей. . Сумму, входящую в правую часть этого соотношения назовём моментом инерции I тела относительно оси вращения - момент инерции твёрдого тела. Таким образом, кинетическая энергия тела вращающегося вокруг неподвижной оси, равна - кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела.

18. Инвариантность законов динамики в ИСО. Сила инерции.

Пусть одна система движется относительно другой равномерно и прямолинейно со скоростью тогда

. Необходимо заметить что инерциальность с/с отсчета здесь фактически не использована поэтому закон сложения скоростей справедлив и в случае если 2-ая система движется ускоренно но не вращается абсолютное уск-ие равно относительному, это означает что ускорение инвариантно при переходе из одной ИСО в другое. , . Сила зависит от разности и разности скоростей поэтому и сила инвариантно при переходе из одной ИСО в др.

Система отсчета движется поступательно и ускоренно. Выберем 2-ую с/с так чтобы она двигалась относительно первой ИСО прямо и ускоренно. , , где я-ся переносным ускорением и тогда Для того чтобы сохранить формулировку закона ньютона в НИСО надо добавить силу инерции возникающего за счет