- •1.Матрицы и действия над ними.
- •3.Обратная матрица.
- •4 Ранг матрицы.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера
- •7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса
- •8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений
- •11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой
- •14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве
- •15. Функция и её основные свойства
- •16. Элементарная функция, классификация функций
- •17. Предел числовой последовательности
- •18. Предел функции в бесконечности и в точке
- •19. Бесконечно малые величины
- •20.Бесконечно большие величины
- •21. Основные теоремы о пределах ф-ии.
- •22. Замечательные пределы.
- •23. Понятие непрерывности ф-и.
- •24. Определение производной, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •25. Схема вычисления производной, основные правила дифференцирования
- •26.Производная сложной функции. Производная обратных функций.
- •27. Производные основных элементарных функций, производные высших порядков.
- •28. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •29. Правило Лопиталя.
- •30. Возрастание и убывание функций.
- •31. Точки экстремума.
- •32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •33. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •34. Асимптоты.
- •35. Схема исследования функций
- •37. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
- •38. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
- •47. Несобственные интегралы.
- •49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •51. Линейные ду 1 порядка.
- •52. Ду второго порядка
- •53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59.Ряд маклорена:
- •61. Функции нескольких переменных
- •65.Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов
- •63. Экстремум функции нескольких переменных.
- •64. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа
32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Порядок действий при нахождении наиб. и наим. значения ф-ии на отрезке:
1)Найти критические точки функции (Производную ф-ии приравняем к 0 т получаем критические точки), 2)Найти значения функции в критических точках., 3)Найти значения функции на концах отрезка, 4)Выбрать среди полученных значений наиб. и наим.
33. Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.
Т. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Т. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Необходимое ус-е перегиба: 2ая производная дважды дифференц-ой ф-ии в точке перегиба=0
Достаточн.ус-е перегиба: : если 2ая производная дважды дифференц-ой ф-ии при переходе через точке х0 меняет свой знак, то х0-точка перегиба графика.
34. Асимптоты.
асимптотой наз-ся прямая, к которой график ф-ии бесконечно приближ-ся, но не пересекает.Асимптоты м.б. прямые и наклонные.
Вертикальные асимптоты. Пусть ф-я y=f(x) определена к некот.окрестности х0,исключая саму эту точку и хотя бы один из пределов ф-ии слева или справа =бесконечности, тогда прямая х=х0 явл-ся вертик.асимптотой ф-ии. Вертик.асимп.след.искать в точках разрыва ф-ии или на концах её области определения не =бесконечности.
Гориз. Пусть ф-я y=f(x) определена при достаточно больших х и сущ-т предел limf(x)=b, тогда прямая y=b явл-ся горизонт.асимптотой. если конечен,т.е равен числу лишь один из пределов limf(x)=b, то говорят о левосторонней или правостор.гориз.асимп.
Наклонные асимптоты. Пусть ф-я определена при достаточно больших х и сущ-т пределы lim f(x)/x=k u lim(f(x)-k*x),тогда график ф-ии им.наклон.асимптоту
35. Схема исследования функций
Пр-с исслед-я ф-ии: 1) обл. значений и обл. определения функции., 2)проверить ф-ю на чётность\нечётность, переодич-ть, 3)точки пересеч-я с осями координат, 4)Точки разрыва. (Если они имеются), 5)Интервалы возрастания и убывания, 6)Точки макс. и мин., 7)макс. и мин. значение ф-ии на ее области определения, 8)Обл. выпуклости и вогнутости, 9)Точки перегиба.(Если они имеются),10)Асимптоты.(Если они имеются)., 11)Построение графика.
36. Дифференциал функции.
Пусть ф-я y = f(x) им. производную в точке х:
Тогда можно записать: , где 0, при х0.
Следовательно: .
Величина x- бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у.
Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции.Обозначается dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx.
Св-ва дифференциала.
Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х
1)d(u v) = (u v)dx = udx vdx = du dv, 2)d(uv) = (uv)dx = (uv + vu)dx = vdu + udv, 3)d(Cu) = Cu’dx, 4) , 5) dC=0
Дифференциал 2го порядка-это дифференциал от дифференциала 1го порядка: .
Дифер-ом n-го порядка наз-ся дифер-л от дифер-ла nго порядка: )