55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
Если
ряд
сходится, то его общий член
стремится к нулю при неограниченном
возрастании n,
т. е.
(2.1)
Условие
явл-ся необходимым, но недостаточным
условием для сходимости ряда. Т. е., если
общий член ряда стремится к нулю при
,
то это не значит, что ряд сходится.
Например, для гармонического ряда
однако
он расходится. гармонический ряд
представляет собой сумму, составленную
из бесконечного количества членов,
обратных последовательным числам
натурального ряда
56. Положительные ряды.
Полож. рядом наз-тся ряд, члены к-рого неотриц.
1,Признак
сравнения.
Пусть даны 2 «+» ряда
(1) и
(2) начиная с нек-рого номера
вып-тся условие
,
тогда из сходимости ряда (2) следует
сходимость ряда (1), а из расходимости
ряда (1) следует расходимость ряда (2).
2.Признак
Даламбера.
Если члены «+» -ного ряда
таковы, что сущ-ет предел
,
тогда если
-ряд сходится;
- расходится;
-нужны доп. исследования.
3.Интегральный
признак Коши.Пусть
члены «+» ряда таковы, что
,
где
при
непрерывн., «+» и убывает, тогда исх. ряд
и несобств. интеграл
сходятся и расходятся одновременно.
57. Знакочередующиеся ряды.
Знакочеред. рядом наз-тся ряд. У которого члены попеременно полож. и отриц.
Если члены знакочер.ряда убыв. по абсолютн.величине и предел общего члена=0,то ряд сходится. Если сх-ся ряд. Составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сх-ся и данный ряд.
Абсолютная и условная сходимость.
Ряд
(1) наз-тся абсолютно
сходящимся,
если сходится ряд (2). Если же ряд (1)сход.,
а ряд (2) расх., то такие ряды наз-ют
условно
сходящимися.
и
Теорема:если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Пр.
-ряд
Лейбница сходится.
-гармонич.
ряд расходится.
т.е. данный пример пок-ет, что сущ-ют ряды сходящиеся, но не сходящиеся абсолютно.
Если ряд с произвольными членами расходится, то члены данного ряда можно расставить таким образом, что ряд будет сходиться к любому наперед заданному числу.
58. Область сходимости степенного ряда
Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может выродиться в точку.
Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от –R до +R, что для всякой точки , лежащей внутри этого интервала, ряд сходится и притом абсолютно, а для точек , лежащих вне его, ряд расходится.
Число R называют радиусом сходимости степенного ряда.
Для
определения сходимости степенного
ряда применяем признак Даламбера:
Тогда по признаку Даламбера степенной ряд сходится если
L
т.е.
и
расходится если .
Из определения интервала сходимости следует, что
Если же мы пользуемся признаком Коши, то
