6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз-тся коэффициентами с-мы. Числа - свободными коэффициентами.

Правила Крамера:

С-ма линейных ур-ний наз-тся крамеровской, если число ур-ний совпадает с числом неизвестных и определитель матрицы с-мы отличен от 0.

Т. Крамеровская с-ма имеет единственное решение, к-рое находится по ф-лам

, где -определитель матрицы с-мы, а - определитель, полученный из  подстановкой вместо того столбца столбец свободных коэф-тов.

Пр. ; ; ; ;

Матричный метод решения с-мы линейных ур-ний.

Этот метод основан на рав-ве . Пр. ;

;

7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса

Совокупность ур-ний вида

(1) - с-ма –линейных ур-ний с –неизвестным

Числа наз-тся коэффициентами с-мы. Числа - свободными коэф-ми.

Решением с-мы (1) наз-тся совокупность чисел при подстановке к-рых в с-му (1) вместо получаем верные числовые рав-ва.

Решить с-му, значит найти все ее решения, либо доказать, что их нет.С-ма наз-тся совместной, если она имеет хотя бы одно решение, несовместной- если решений нет. Матрица составлена из коэф-тов

наз-тся матрицей с-мы (1).

М-д Гаусса: применяется для произвольной с-мы линейных ур-ний.

С-му будем наз-ть ступенчатой, если матрица имеет ступенчатый вид. При решении с-м линейных ур-ний нам понадобится след алгоритм: 1)Запишем расшир. матрицу и приведем ее к ступенчатому виду,2)если ранги не равны, то с-ма несовместна, 3)если ранги равны и равны числу , то с-ма совместна и остается записать ее решение, 4)используя ступенчатый вид расширенной матрицы запишем соотв. ступенчатую с-му., 5)если = , т.е. ранг совпадает с числом неизвестных, то с-ма имеет единственное решение.

Двигаясь снизу вверх выражаем каждую из неизвестных.

1)если  , то в с-ме ур-ний и неизвестных. Снизу вверх выражаем каждую из главных неизвестных свободные неизвестные могут принимать любые значения, в этом случае с-ма имеет бесконечно много решений.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы. исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений

Система m линейных уравнений с n переменными наз-ся СЛУ однородных, если все свободные члены=0

СЛОУ совместны всегда,т.к. всегда есть тривиальное (простейшее) решение

Если в СЛОУ m=n, а её определитель не =0, то система им единственное нулевое решение. Ненулевые реш-я возможны только тогда, если m или

Св-ва решений СЛОУ: 1) если строка чисел явл. решением СЛОУ, тогда 2) если строки и явл-ся решениями СЛОУ, то их сумма ) также будет решением. Поэтому важно найти такие реш-я системы,чтобы все остальные решения представлялись в виде их суммы или произведения на число. Если такие реш-я сущ.,то она наз-ся фундаментальной системой решений и все остальные решения можно записать в виде

Теорема. Если ранг матрицы (r) коэф-ов СЛОУ меньше числа переменных (n), то любая фундаментальная система решений СЛОУ состоит из n-r решений.