11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой

Даны 2 прямые: y=k_1 x+b_1 (1), y=k_2 x+b_2 (2). 〖 k〗_1=tgα_1, k_2=tgα_2. α_2=α_1+φ, φ=α_2-α_1, tgφ=tg(α_2-α_1 ), tgφ=(tgα_2-tgα_1)/(1+tgα_2*tgα_1 ), tgφ=(k_1-k_2)/(1+k_(1*) k_2 )(1)

Если прямые 1 и 2 ∥, то φ=0, тогда tgφ=0,подставляем в формулу (1) и получаем k_1=k_2 (необходимое и достаточное ус-е парал-ти 2х прямых).

Если прямая 1⊥ 2⇒ φ=90⇒ tgφ=90⇒ k_1*k_2=-1 (ус-вие необходимое и достаточное для перпен-ти прямых).

Рассмотрим 2 прямые: A_1 x+B_1 x+C_1=0 (1), A_2 x+B_2 x+C_2=0 (2), k_1=-A_1⁄B_1 k_2=-A_2⁄B_2 . Если (1) ∥(2), k_1=k_2,т.е. А_1/В_1 =А_2/В_2 – условие парал-ти прямых. Если (1) ⊥(2), k_1*k_2=-1, А_1/В_1 *А_2/В_2 =-1, А_1*А_2+В_1*В_2=0-условие перпен-ти прямых

Расстояние от точки до прямой

Дано: т.М(x_0;y_0) и прямаяA_x+B_y+C=0. Найдём расстояние от точки М до прямой. d=MM_1. Алгоритм нахождения d:1)найти ур-е прямой ММ1, 2) найти т.М1 как точку пересечения прямых, решив систему,составленную из ур-ий этих прямых, 3)найти расстлояние d по формуле расстояния между 2мя точками d=|A_x0+B_y0+C|/√(A^2+B^2 )

14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве

Общее ур-е плоскости.

Пусть плоскость Q проходит через т. перпен-но вектору n (A;B;C)

т. и перпен-ый вектор n определяют единственную плоскость в пространстве x,y,z. n наз-ся нормальным вектором в плос-ти. Составим ур-е плоскости Q: пусть т.М(x;y;z)-произвольная точка плоскости. Вектор . По ус-ию вектор n ,

( )+C( ))(ур-е плоскости по нормальному вектору и то точке)= ( )+(-A )=Ax+By+Cz+D=0 – общее ур-е плос-ти.

Исслед-м общее ур-е плос-ти: 1) если D=0, то Ax+By+Cz=0 (плос-ть проходит через начало координат); 2)если А(В или С)=0, то вектор n=(0;В;С), то Q оси ОХ; 3) если , то ур-е By+Cz=0, Q проходит через всю ОХ, 4) А=В=0, то Cz+D=0, Q всей плос-ти; 5) , то z=0, Q совпадает с XOY.

Рассмотрим 2 парал-ые плос-ти: (1) , (2) , вектор , . (1) .

= = -ус-ие парал-ти плоскостей

(2), вектор , т.е. – ус-ие перпен-ти плоск-ей.

Ур-е прямой в пространстве

1)Прямая в пространстве м.б. задана как линия пересечения двух плоскостей – общее ур-ие прямой в пространстве через 2 плоскости.

2)

Пусть т. - точка,которая лежит на прямой. Пусть вектор a=(m;n;p) прямой, это направляющий вектор прямой. Составим ур-ие прямой: пусть т.М(x;y;z)-произвольная точка. Вектор =(x- ), вектор , т.е – каномические ур-я прямой в пространстве.

15. Функция и её основные свойства

Ф-я. Рассм. множ-во элементов и множ-во элементов . Если каждому элементу из поставлен в соотв-е единственный элемент из обозначаем , то говорят: на множ-ве задана ф-я со значениями в множ-ве . Элементы значение аргумента; -значение ф-и; множ-во –область определения; множ-во всех значений ф-и – областью значений ф-и.

К основным способам задания ф-и относят:

1)Аналитический.(т.е.формулой) -я, заданная ф-лой , правая часть к-рой не содержит наз-тся явной ф-ей. Ф-я наз-тся заданной не явно.

2. Табличный способ- способ задания ф-ии при помощи таблицы (Н.:логарифмич. таблицы, тригонометрические и т.д.)

3. Графический-при помощи графика. Графиком ф-и наз-тся множ-во точек плоскости с координатами плоскости , где .

Св-ва ф-ий: 1)чётность или нечётность. Чётная если

f(-x)=f(x), нечётная f(-x)= - f(x). График нечётн.ф-ии симетричен относительно началу координат; 2)монотонность. Ф-ия наз-ся возраст.(убыв.), если больш.знач-ю аргумента х соот-ет большее (меньшее) знач-е ф-ии;

3) ограниченность. Ф-ия наз-ся огранич. на промеж-ке х,если сущ-т такое число M>0, то . В противном случае, ф-ия наз-ся неогранич., 4)переодичность. Переодическая,если сущ-т такое число Т,что f(x+T)=f(x). Наим.полож. знач-е Т-период ф-ии