Частные производные
Пусть задана функция z = f(х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них
может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х
приращение Δx ; сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое
называется частным приращением z по х и обозначается zxΔ . Итак,zxΔ=f(x+Δx;y)−f(x;y).
Аналогично получаем частное приращение z по у:zyΔ=f(x;y+Δy)−f(x;y).
Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz=f(x+Δx;y+Δy)−f(x;y).
Если
существует предел
то он называется частной производной
функции z
=f(х;
у) в точке М(х; у) по переменной х и
обозначается одним из символов:z’x
,
f’x
Частные
производные по x;
в точке Мо(x0;y0)
обычно обозначают символами Аналогично
определяется и обозначается частная
производная от z
= f(x;у)
по переменной у:z’y=
Таким образом, частная производная
функции нескольких (двух, трех и больше)
переменных определяется как производная
функции одной из этих переменных при
условии постоянства значений остальных
независимых переменных. Поэтому частные
производные функции f(х;
у) находят по формулам и правилам
вычисления производных функции одной
переменной (при этом соответственно х
или у считается постоянной величиной).
Билет 12
Полный дифференциал функции
1°. Полное приращение функции.Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Полным приращением функции z=f(х,у) называется разность
Δz = Δf (x, y) = f (x + Δx, y + Δy) − f (x, y) .
2°. Полный дифференциал и дифференцируемость функции. Составим полное приращение функции в точке М:Δz = f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y) . Функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
Δz = A⋅ Δx + B ⋅ Δy +α ⋅ Δx + β ⋅ Δy , (1) гдеα =α (Δx;Δy)→0 и β = β (Δx;Δy)→0 при Δx→0,Δy →0 .
Сумма первых двух слагаемых в равенстве (1) представляет собой главную часть
приращения функции. Главная часть приращение функции z = f(х; у), линейная относительно Δx и Δy , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
dz = A⋅ Δx + B ⋅ Δy . (2) Выражения A⋅ Δx и B ⋅ Δy в равенстве (1) называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δx = dx и Δy = dy . Поэтому равенство (2) можно переписать в виде dz = A⋅ dx + B ⋅ dy . (3)
Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = f(x;
у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные
производные
и
,
причем
=А,
=
В.
Теорема 2 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=(x;у) имеет непрерывные частные производные x z′ и y z′ в точке М(х;у), то она дифференцируема в
этой точке.
Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности ее частных
производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой. Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т. е. dx=Δx и dy=Δy. Полный дифференциал функции z=f(x,y) вычисляется по формуле
dz=
Аналогично,
полный дифференциал функции трех
аргументов u=f(х,
у, z)
вычисляется по формуле du=