Билет №12

1) Момент инерции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z,  — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k, называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk², где М — масса тела. Размерность М. и. — L²M; единицы измерения — кгм² или гсм².

  Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z, проведённых в точке О, называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

  М. и. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением

I_z = I_z' + М d²     (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

  М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами , ,  находится по формуле:

l_ol = I_x² + I_y² + I_z² — 2I_xy — 2I_yz — 2I_zx.     (4)

Зная шесть величин I_x, I_y, I_z, I_xy, I_yх, I_zx, можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

теорема Штейнера-Момент инерции тв. Тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно оси проходящий через центр масс и параллельно выбранной оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между ними.

Теорема Кёнига

В ньютоновской механике разрешено работать в любой инерциальной системе отсчета. При переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую динамические характеристики системы изменяются (плата за «свободу» выбора системы отсчета).. Рассмотрим, как изменяется при переходе из одной системы отсчета в другую кинетическая энергия. Начнем с самой простой ситуации - кинетической энергии материальной точки. Согласно закону сложения скоростей: V = V’ + U (1) где V скорость тела в «неподвижной» системе отсчета (СО), V’ - скорость тела в «движущейся» СО, и наконец, U - скорость «движущейся» СО относительно неподвижной. Возведем скалярно в квадрат обе части уравнения (1): V² = V’² + U² +2 V’U (2) Уравнение (2) умножим на массу материальной точки m и разделим пополам, получим закон преобразование кинетической энергии материальной точки: k=k’ +mU²/2+mV’U (3) Этот форма преобразования, по сравнению с соотношением (1) более громоздкая, и на практике применяется редко. Рассмотрим, как выглядит это соотношение для кинетической энергии сложной системы. Для каждой материальной точки системы можно записать соотношение типа (3), а затем их все просуммировать: K=K'+MU²/2+U S m_i V’_i (4) Выражение S m_i V’_i можно представить как произведение массы системы М на скорость центра масс и тогда соотношение (4) принимает вид: K=K'+MU²/2+U M V’_ц.м. (5) Кёниг предложил рассматривать в качестве «движущейся» СО систему, связанную с центром масс, тогда в этой системе V’_ц.м. =0 и соотношение (5) принимает вид математической формулировки теоремы Кёнига: K=K'+MV_ц.м.²/2

Переведем эту теорему с математического языка:

Кинетическая энергия сложной системы (К) представляется как сумма кинетической энергии движения как целого со скоростью центра масс (M V’_ц.м./2)и суммарная кинетическая энергия движения материальных точек системы относительно центра масс (К').

2) Можно, например, представить себе систему, температура которой меняется от точки к точке, или газ, в разных точках которого давление различно. Такие состояния называются неравновесными.

Обычно по прошествии некоторого времени устанавливается состояние, в котором каждый такой параметр( P,V,T) имеет одно и то же значение во всех точках системы и остается неизменным сколь угодно долго, если не меняются внешние условия. Такие состояния называются равновесными.

Процесс перехода термодинамической системы из неравновесного состояния в равновесное называется процессом релаксации, он характеризуется временем релаксации. Представим себе процесс, протекающий в термодинамической системе со скоростью, значительно меньшей скорости релаксации; это значит, что на любом этапе этого процесса значения всех параметров будут успевать выравниваться и такой процесс будет представлять собой последовательность бесконечно близких друг к другу равновесных состояний. Такие достаточно медленные процессы принято называть равновесными или квазистатическими. Ясно, что все реальные процессы являются неравновесными и могут лишь в большей или меньшей степени приближаться к равновесным. Заметим, что равновесный процесс может идти как в прямом, так и в противоположном направлениях. В связи с этим равновесные процессы называют также обратимыми. В дальнейшем мы будет рассматривать только равновесные процессы. Для каждой термодинамической системы существует состояние термодинамического равновесия, которое она при фиксированных внешних условиях достигает. Например, чайник, снятый с плиты, сам остывает до комнатной температуры. Сформулированный признак термодинамических систем настолько важен, что он получил название нулевого начала термодинамики. (Это начало имеет такой странный номер потому, что лишь после того как были открыты первое и второе начала термодинамики, ученые осознали, что этот практически очевидный постулат нужно поставить впереди.) По существу, нулевое начало термодинамики постулирует существование температуры. 1. Обратимым термодинамическим процессом называется термодинамический процесс, допускающий возможность возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Необходимым и достаточным условием обратимости термодинамического процесса является его равновесность. 2. Необратимым термодинамическим процессом называется термодинамический процесс, не допускающий возможности возвращения системы в первоначальное состояние без того, чтобы в окружающей среде остались какие-либо изменения. Все реальные процессы протекают с конечной скоростью. Они сопровождаются трением, диффузией и теплообменом при конечной разности между температурами системы и внешней среды. Следовательно, все они неравновесны и необратимы. 3. Всякий необратимый процесс в одном направлений (прямом) протекает самопроизвольно, а для осуществления его в обратном направлении так, чтобы система вернулась в первоначальное состояние, требуется компенсирующий процесс во внешних телах, в результате которого состояния этих тел .оказываются отличными от первоначальных. Например, процесс выравнивания температур двух соприкасающихся различно нагретых тел идет самопроизвольно, т. е. не связан с необходимостью одновременного существования каких-либо процессов в других (внешних), телах. Однако для осуществления обратного процесса увеличения разности температур тел до первоначальной нужны компенсирующие процессы во внешних телах, обусловливающие, например, работу холодильной машины.

Цикл карно,

обратимый круговой процесс, в котором совершается превращение теплоты в работу (или работы в теплоту). К. ц. состоит из последовательно чередующихся двух изотермических и двух адиабатных процессов.

К. ц. осуществляется следующим образом: рабочее тело (например, пар в цилиндре под поршнем) при температуре T₁ приводится в соприкосновение с нагревателем, имеющим постоянную температуру T₁, и изотермически получает от него количество теплоты dQ₁ (при этом пар расширяется и совершает работу).На рис. 1 этот процесс изображен отрезком изотермы AB. Затем рабочее тело, расширяясь адиабатически (по адиабате BC), охлаждается до температуры T₂. При этой температуре, сжимаясь изотермически (отрезок CD), рабочее тело отдаёт количество теплоты dQ₂ холодильнику с температурой T₂. Завершается К. ц. адиабатным процессом (DA на рис. 1), возвращающим рабочее тело в исходное термодинамическое состояние. При постоянной разности температур (T₁ - T₂) между нагревателем и холодильником рабочее тело совершает за один К. ц. работу