10. Общий случай расчета переходных процессов классическим методом.
Согласно классическому методу искомая переменная, например, ток i = i(t) в некоторой ветви представляется в виде суммы установившегося тока (установившейся составляющей) iуст и преходящего тока (преходящей составляющей) iпрех:
i = iуст + iпрех
Рекомендуется следующая методика расчета переходных процессов в электрических цепях классическим методом:
1. Рассчитывается предшествующий режим (до коммутации), т.е. значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов для момента t = 0- uC(0-) и iL(0-)
2. По законам коммутации находят независимые начальные условия – напряжения емкостных элементов uC(0+)= uC(0-) и токи индуктивных элементов iL(0+)= iL (0-).
3. Рассчитывается установившийся режим в цепи после коммутации, в результате находится установившаяся составляющая искомой переменной xуст(t).
4. Составляется характеристическое уравнение цепи Рn(p)=anpn+an–1pn–1+…+a1p+a0=0 и находятся его корни (собственные частоты цепи) pj, j = 1,2,…,n.
5. В зависимости от вида корней характеристического уравнения определяется вид аналитического представления преходящей составляющей искомого тока или напряжения xпрех(t), записывается полное решение переходного тока или напряжения. Постоянные интегрирования находятся после определения зависимых начальных условий.
11. Законы коммутации, независимые и зависимые начальные условия.
Значения токов и напряжений элементов цепи в момент t = 0+ называют начальными условиями переходного процесса. Делят на ННУ и ЗНУ.
Законы
коммутации: В момент коммутации остаются
неизменными напряжения на емкостных
элементах (конденсаторах) и токи в
индуктивных элементах (катушках).
.
C
энергетической точки зрения ток на
катушке и напряжение на конденсаторе
не может измениться скачком, на это
требуется бесконечно большая мощность.
Эти же условия составляют ННУ. Остальные
условия – ЗНУ, могут меняться скачком,
находятся с помощью законов Кирхгофа.
Различают ненулевые и нулевые ННУ.
Пример ЗНУ:
12. Включение цепи r,l на постоянное и синусоидальное напряжение.
Постоянное напряжение:
1
.
До коммутации тока в катушке не было:
iL(0-)
= iL(0+)
2. Установившаяся составляющая тока после коммутации определяется из условия, что напряжение на индуктивном элементе при t→∞ равно нулю: uLуст = 0, тогда iLуст = E/R.
3. Преходящая составляющая тока iLпрех(t) = Aept, напряжения uLпрех = Bept.
4. р определяют из характеристического уравнения Lp + R = 0, p=-R/L .
5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного тока iL(t) = E/R + Ae-(R/L)t и напряжения uL(t) = 0 + Be-(R/L)t.
Для t = 0+: iL(0+)=E/R+A, uL(0+)=0+B. Так как iL(0+)=iL(0-)=0 (н.н.у.), то A=0-E/R. Для определения зависимого начального условия uL(0+) составим уравнение Кирхгофа для напряжений: E=uL(0+)+iL(0+)R . Следовательно, uL(0+)=E и B=E .
Решение:
ток в катушке после коммутации
,
напряжение на катушке
.
Синусоидальное напряжение.
1
.
До коммутации тока в катушке не было:
iL(0-)
= iL(0+)
2.
Если источник синусоидальный
e(t)=Emsin(ωt+ψ)
B, то установившейся ток iуст(t)=Imsin(ωt+ψ-φ)
рассчитывается комплексным методом:
,
.
3. Преходящая составляющая тока iLпрех(t) = Aept, полное решение iL(t)=Imsin(ωt+ψ-φ)+Aept.
4. р определяют из характеристического уравнения Lp + R = 0, p=-R/L , постоянная времени τ=1/|p|=L/R
5. По начальным условиям определяют постоянные интегрирования для переходного тока iL(0+)=iL(0-)=0: 0=Imsin(ψ-φ)+A.
Решение: iL(t)=Imsin(ωt+ψ-φ)-Imsin(ψ-φ)e-(R/L)t.