
- •Численное интегрирование: вывод формулы прямоугольников и оценки погрешности.
- •Численное интегрирование: вывод формулы трапеций и оценки погрешности.
- •Численное интегрирование: формула Симпсона и оценка погрешности.
- •Правило Рунге оценки погрешностей. Уточнение по Рунге.
- •Численное дифференцирование. Вычисление первой и второй производной, оценки погрешности.
- •Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: постановка задачи, её разрешимость, устойчивость на конечном отрезке.
- •Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: устойчивость по правой части и на неограниченном промежутке.
- •Численные методы решения задачи Коши. Основные понятия и определения: дискретная задача Коши, явные и неявные методы, устойчивость, аппроксимация, сходимость.
- •Численные методы решения задачи Коши. Метод разложения в ряд Тейлора.
- •Численные методы решения задачи Коши. Метод Эйлера, его геометрическая интерпретация, оценка погрешности метода Эйлера.
- •13.Численные методы решения задачи Коши: модификации метода Эйлера второго порядка точности, геометрическая интерпретация, оценка погрешности методов.
- •14. Численные методы решения задачи Коши: методы Рунге–Кутты. Идея построения расчетных формул. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности.
- •16. Явные одношаговые методы. Локальная и глобальная погрешности. Оценка погрешности по правилу Рунге.
- •17. Аппроксимация, устойчивость и сходимость явных методов решения задачи Коши.
- •15. Сходимость метода Эйлера.
- •18. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.
- •19.Решение задачи Коши для уравнения m-го порядка.
- •20. Многошаговые методы. Вывод формул явного метода Адамса-Башфорта. Порядок аппроксимации метода.
- •21. Многошаговые методы. Вывод формул неявного метода Адамса-Моултона. Порядок аппроксимации метода.
- •22. Устойчивость численных методов. Понятие нуль-устойчивости.
- •23. Жесткие задачи: понятие о жестких задачах, жесткие системы дифференциальных уравнений. Методы их решения.
- •24. Постановка двухточечной краевой задачи. Основные теоремы (без доказательств) о разрешимости и устойчивости дифференциальной задачи.
- •25. Дискретная двухточечная краевая задача. Теорема о существовании решения разностной схемы.
- •26. Дискретная двухточечная краевая задача. Априорная оценка решения разностной схемы (без доказательства).
- •27. Дискретная двухточечная краевая задача. Устойчивость разностной схемы.
- •28. Дискретная двухточечная краевая задача. Аппроксимация и сходимость разностной схемы.
- •29. Решение сеточных уравнений методом прогонки. Правило Рунге оценки погрешности.
- •30. Применение метода конечных разностей при решении двухточечной краевой задачи в случае переменного коэффициента теплопроводности.
- •31. Метод баланса построения разностных схем для решения двухточечной краевой задачи.
- •32. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: построение явной схемы и оценка погрешности.
- •33. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: условная устойчивость явной схемы.
- •34. Метод конечных разностей решения первой начально-краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности: неявная схема, абсолютная устойчивость неявной схемы.
- •35.Метод переменных направлений решения двумерной начально-краевой задачи для уравнений теплопроводности.
- •40. Метод конечных разностей решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Итерационные методы решения сеточных уравнений: метод Зейделя.
17. Аппроксимация, устойчивость и сходимость явных методов решения задачи Коши.
Определение:
Будем называть
аппроксимацией
сеточную ф-цию
,кот.
равна разности между левой и правой
частью метода на точном решении задачи.
Оценим
погрешность аппроксимации для м.Эйлера
.
Порядок аппрок-ции м.Эйлера – первый.
Устойчивость
диф-ной задачи:(1)
-нач.условие,
f(t,y(t))
– пр. часть. Воз-щеная задача:
(2)
Вычтем из (1) (2), введм ф-цию
.
(3) ур-е лин. Неодн.:
(4)
Ф-ла (4) харак-ет ф-цию ошибки
-
погрешность вычисления правой части.
<0
,
то задача является устойчивой
Определение:
Численный метод наз-ся устойчивым если
выполянется следующее неравенство
Сходимость:
Пусть y(t)
– решение задачи Коши. Назовем глобальной
погрешностью
численного метода сеточную ф-цию
со значениями
в узлах
.
В качестве меры абсолютно погрешности
метода примем величину E(h)=
Численный метод задачи Коши называется
сходящимся, если для него E(h)->0
при h->0.
Принято говорить, что метод сходится с
Р-м порядком точности, если для погрешности
справедлива оценка E(h)
,p>0.Теорема:
Пусть численный метод устойчив на
конечном отрезке и имеет порядок
аппроксимации, равный р. Тогда если
начальные значения
заданы с р-м порядком точности, то и
метод сходится с р-м порядком точности.
15. Сходимость метода Эйлера.
Теорема(1):
Пусть численный метод устойчив на
конечно отрезке и имеет порядок
аппроксимации, равный р.Тогда если
начальное значение значения
заданны
с р-м порядком точности, то и метод
сходится с р-м порядком точности.Док-во:
Пусть
-
погрешность аппроксимации, положим
.
Равенство
позволяет утверждать, что сеточная
функция
является решением дискретной задачи
Коши
Устойчивость
метода означает выполнение неравенства
которое
в силу равенств
и
можно переписать как:
Учитывая
что
,
правую часть неравенства
оцениваем величиной
.
Итак
Т.к. метод Эйлера устойчив на конечном
отрезке и имеет первый порядок
аппроксимации, то из теоремы (1) следует,
что он сходится с первым порядком
точности. Точнее верна следующая теорема:
Пусть ф-ция f
удовлетворяет условию
.Тогда
для метода Эйлера справедлива такая
оценка глобальной погрешности:
,
где
,
Приведем док-во
теоремы, не использующее теорему (1).
Док-во:
Пусть
- погрешность аппроксимации. Перепишем
ее определение в виде
Полагая
,замечаем,
что сеточная ф-ция
является решением дискретной задачи
Коши !!!!! где
.
Тогда в силу теоремы
:(Пусть
ф-ция f
удовлетворяет условию
.
Тогда справедливо неравенство
означающее,что
метод Эйлера устойчив на конечном
отрезке.) справедлива оценка
Учитывая, что
,
и используя оценку
,
где
для погрешности аппроксимации, получаем
неравенство
18. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений.
Методы решения
задачи Коши можно использовать и для
систем ур-ний первого порядка, причем
форма из записи претерпевает минимальный
изменения. Следует лишь изменить в
расчетных формулах числа
на векторы
,
ф-цию f-
на вектор ф-цию f
и т.д. В результате дискретное ур-ние
преобразуется в систему дискретных
ур-ний. Например, расчетная формула
метода Эйлера
к
решению системы y’(t)=f(t,y(t))
принимает в покоординатной форме записи
вид:
Аналогично, м.Рунге-Кутты 4го порядка
точности пораждает для СДУ 1го порядка
следующий метод:
,
Теорема
1.Пусть
вектор ф-ция f(t,y)
определена и непрерывна в слое Пт.
Предположим также, что она удовлетворяет
условию Липшица
для всех
и произвольных
где L>0
– некоторая постоянная (постоянная
Липшица). Тогда для каждого начального
значения
сущ-ет единств. Решение y(t)
задачи Коши
определенное
на отрезке [t0,T]
Теорема
2: Пусть
выполнены условия теоремы 1. Далее песть
y(t)
– решение задачи
а y*(t)
– решение задачи
Тогда
справедлива оценка
выражающая устойчивость на конечном
отрезке [t0,T]
решения задачи Коши по начальным
значениям и правой части. Здесь
.
Теория численных методо решения задачи
Коши для систем дифф. ур-ний имеет много
общего с соответствующей теорией решения
задачи Коши для одного дифф. ур-ния. В
частности справедливы аналогии всех
изложенных в билете № 14 результатов
касающихся устойчивости и сходимости
дискретных методов на конечном отрезке.Но
системы ОДУ имеют новый эффект –Жесткость.
Несмотря на медленное изменении искомых
ф-ций расчет приходится вести с
неоправданно мелким шагом h.
Все попытки увеличить шаг и тем самым
уменьшить время решения задачи приводят
лишь к катастрофически большому росту
погрешности. Обладающие таким свойством
задачи получили название жестких.