29. Решение сеточных уравнений методом прогонки. Правило Рунге оценки погрешности.
Метод конечных разностей(или метод сеток): Область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным множеством узлов, называемым сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки,-сеточные функции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей(разностной схемой). Примем K(x)=1, тогда краевая задача:
Метод прогонки:
Прежде всего, нужно
построить сетку(равномерную, с постоянным
шагом
)
и ввести сеточные функции(
),
затем построить разностную схему:
,
с погрешностью
Заменим в каждом из внутренних узлов:
Теперь потребуем,
чтобы значения искомой сеточной функции
удовлетворяли во
всех внутренних узлах сетки уравнениям
в которых знак приближенного равенство
заменен на знак равенства:
-разностная
схема.
Приведем к виду:
,
Видно, что система имеет вид:
Трехдиагональная матрица, где:
Прямой ход:
,
остальное по рекуррентным формулам:
и
Затем обратный
ход, при
:
.
Оценка погрешности по правилу Рунге:
,
применимо только в тех узлах, где известны
оба значения.
30. Применение метода конечных разностей при решении двухточечной краевой задачи в случае переменного коэффициента теплопроводности.
Метод конечных разностей(или метод сеток): Область непрерывного изменения аргумента заменяют конечным множеством узлов, называемым сеткой. Вместо функций непрерывного аргумента рассматривают функции, определенные только в узлах сетки,-сеточные функции. Производные, которые входят в дифференциальное уравнение и краевые условия, заменяют их разностными аналогами. В результате краевую задачу заменяют дискретной краевой задачей(разностной схемой). Краевая задача:
В данном случае
вся сложность заключается в выборе
подходящей аппроксимации для выражения:
Введем обозначения:
Аппроксимируем:
Используя далее
приближенные формулы:
Получаем разностную
схему:
Коэффициенты:
Замечание1: При любом h существует единственное решение разностной схемы, справедлив принцип максимумов, разностная схема устойчива и сходится со вторым порядком точности, если коэффициенты k, q, f являются дважды непрерывно дифференцируемыми на отрезке [a,b] функциями.
31. Метод баланса построения разностных схем для решения двухточечной краевой задачи.
Одна из особенностей
технических задач, что изучаемая среда,
как правило, существенно неоднородна.
Этот фактор проявляется в том, что
коэффициенты дифференциальных уравнений
становятся разрывными. Предположим,
что на отрезке [a,b]
есть М точек разрыва
первого рода. Будем
считать, что всюду, кроме этих точек,
коэффициенты k,
q,
f
непрерывны и
.
Допустим,
-решение
задачи, если:
1.
непрерывна
на отрезке [a,b]
и удовлетворяет краевым условиям
2. поток
непрерывен на отрезке [a,b]
3. везде, кроме
точек разрыва,
непрерывно
дифференцируема и удовлетворяет
уравнению:
Применим метод баланса(или интегро-интерполяционный метод):
Запишем уравнение
теплового баланса для отрезка
, где
,
получаем:
Воспользуемся
приближенной формулой:
,
поделим на
:
,
где
Заметим:
Получим:
-эффективное
значение коэффициента теплопроводности
на отрезке
.
Замечание1:
усредняется фактически не коэффициент
теплопроводности k(x),
а обратный к нему коэффициент
теплопроводности сопротивления
.
В итоге:
(1)
И краевые условия:
Получаем разностную схему.
Замечание2: Разностное уравнение (1) записываются единообразно во всех внутренних узлах сетки. Это означает, что рассматриваемая разностная схема относится к классу однородных разностных схем.
Х. Построение разностной схемы при решении двухточечной краевой задачи в случае граничных условий 2-го рода.
Граничные условия (ГУ) второго рода имеют вид:
Можно аппроксимировать ГУ с 1-ым порядком точности по h:
При этом матрица A примет вид:
Аппроксимация ГУ со 2-ым порядком точности по h (используя метод баланса):
Для левой граничной точки:
- аппроксимируется
со 2-ым порядком точности по h
Уравнение соответствующее левой точке:
;
