1. Мультивариантный точечный процесс, k-вариантный точечный процесс.

Определение. Мультивариантным точечным процессом на называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а) ; б) на множестве ; в) на множестве ; а на множестве и на множестве где - некоторая "фиктивная" точка, причём для .

По мультивариантному точечному процессу легко построить опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим

Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т. е. принадлежат пространству Скорохода.

Обозначим - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.

Определение. Пусть Е - конечное или счётное множество, причем , в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.

Пусть , где опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что . Справедливо утверждение.

Предложение 1. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых и Р - п. н. справедливы представления:

1)если , то

,

где ,

2)

Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых ,

.

Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .

Отсюда следует первое утверждение предложения.

2) Так как марковские моменты нагружают процесс , то P – п. н. для любого . Поэтому P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем

Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.

2. Матрица интенсивностей перехода. Условия существования матрицы интенсивностей перехода (Теорема 3).

Пусть на стохастическом базисе задан опциональный процесс со значениями в Е, где Е – конечное или счетное множество. Пусть – последовательность марковских моментов, которая исчерпывает все скачки процесса . Без ограничения общности можно считать, что . Пусть - считающий процесс, а , относительно которых мы будем предполагать, что выполняются условия (N):

i) для любого ;

ii) .

Если выполнено условие ,то у считающего процесса существует - компенсатор , относительно которого мы будем полагать, что выполняется условие (А):

P – п. н. для любых , причем

измерима, где .

Предложение 2. Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний E, а -считающий процесс. Пусть выполняются условия (N), (А). Тогда существует измеримая функция , обозначаемая такая, что:

1) почти всюду относительно меры Лебега:

i) для любых ,

ii) для любых ;

2) компенсатор считающего процесса имеет вид ;

3) компенсатор процесса имеет вид .

Доказательство. 1) Рассмотрим считающий процесс , . В силу пункта 2) предложения 1 и теоремы Блекуэлла для любой предсказуемой ограниченной неотрицательной функции справедливо равенство:

. (7)

Из условия (А) следует, что - измерима, поэтому в силу теоремы Бореля, существует измеримая функция , обозначаемая через , такая, что почти всюду относительно меры . Очевидно, что . Поэтому (7) можно переписать в виде .

Из последнего равенства, в силу произвольности функции получаем, что:

1) для почти всех s, 2) -компенсатор считающего процесса . Таким образом, второе утверждение предложения установлено.

3) Рассмотрим процесс . Из определения процесса и условий предложения для любой - предсказуемой ограниченной неотрицательной функции определен и конечен интеграл для любого . В силу условий предположения и свойств интеграла Стилтьеса, имеем

(8)

Ранее мы выяснили, что - компенсатор считающего процесса имеет вид . Поэтому для любых t,i из (8) имеем

Следовательно, в силу произвольности функции , получаем для любых и почти всех s. Отсюда, в силу теоремы Блекуэлла и произвольности , получаем, что предсказуемый процесс является компенсатором процесса . Доказательство закончено.

Из предложения 2 следует определение.

Определение. Измеримую функцию , обозначаемую через , где , назовем матрицей интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний, если выполняются условия:

1) для почти всех s

i) для любых ,

ii) для любого ,

iii) .

2) относительно потока и меры P процессы и :

i) ,

ii)

являются мартингалами.

Теорема 3. Пусть выполнены условния (N) и (A), тогда матрица интенсивности перехода существует у опционального процесса с конечным или счетным числом состояний.

3. Пусть - опциональный процесс с кусочно-постоянными траекториями, у которого существует матрица интенсивностей перехода. Тогда справедливо равенство

где – мартингал (Теорема 4).

Теорема 4. Пусть выполнены условия (N), (А) (см. вопрос 2). И пусть - матрица интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний. Тогда Р – п.н. справедливо представление для любых и .

. (9)

где - мартингал.

Доказательство. Первое утверждение следует из предложения 2. Второе утверждение теоремы следует из предложений 1 и 2.

Действительно, из пункта 1) предложения 1 и пункта 3 предложения 2, имеем P – п.н.

Здесь мы учли, что . Для завершения доказательства осталось лишь заметить, что в силу пунктов 2) и 3) предложения 2 и являются мартингалами относительно меры P. Доказательство закончено.

Замечание. Предположим, что - матрица интенсивности перехода удовлетворяет условиям:

1) для и ,

2) ,

3) .

Тогда . Действительно, из условий 1) – 3) следует, что для .

4. Пусть - опциональный процесс с конечным или счётным количеством состояний имеет матрицу интенсивностей перехода. Выведите систему уравнений Колмогорова для (Теорема 5).

Теорема 5. Пусть - матрица интенсивностей перехода процесса . Тогда удовлетворяет системе уравнений для

. (10)

(на лекциях доказательства не было, но я его приложил из печатных)

Доказательство. Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (9), учитывая, что для , имеем

.

Так как для , то в силу теоремы Фубини из последнего равенства имеем

.

Отсюда, в силу того, что детерминированная функция, получаем (10). Доказательство закончено.

Замечание. Процесс , распределение вероятностей которого удовлетворяет (10) называют скачкообразным марковским процессом с конечным или счетным числом состояний. Система уравнений (10) называется прямым уравнением Колмогорова для марковских процессов с конечным или счетным числом состояний.

5. Установите достаточные условия существования и единственности решения уравнения Колмогорова для ??? процесса с конечным или счётным числом состояний (Теорема 6)

Теорема 6. Пусть - размера матрица интенсивности перехода такая, что: 1) для и ,

2) для , 3) . Тогда в классе решение уравнения (10) существует и единственно.

Доказательство теоремы 6 опирается на лемму.

Лемма (Гронуолла - Беллмана). Пусть , - измеримая функция, обозначаемые через u(t) и c(s), соответственно, такие, что: а) ; б) . Тогда для справедливо неравенство .

Доказательство. Очевидно неравенство для .

Последнее можно переписать в виде . Отсюда следует, что . Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 6. Сначала заметим, что (10) можно переписать в виде

.

Отсюда, в силу формулы Коши (для обыкновенного линейного неоднородного уравнения первого порядка), имеем

. (11)

Заметим, что , поэтому имеем неравенства:

.

Отсюда в силу теоремы Фубини следует, что

.

(Здесь мы учли, что для ).

Таким образом, мы пришли к неравенству

.

В силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем .

Отсюда следует существование решения системы уравнений (10).

Установим теперь единственность решения системы (10). Пусть , l = 1,2, - два решения системы (10). Поэтому в силу (11) для справедливо представление

. (12)

Обозначим . Из (12) следуют неравенства

.

Отсюда, в силу теоремы Фубини, имеем для любого t

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем . Отсюда следует утверждение теоремы.

6. Вероятностная интерпретация интенсивности (Теорема 8).

Пусть имеется m-вариантный точечный процесс , а , , - считающий процесс, . Пусть , где . Предположим, что - компенсатор точечного процесса , причем , где - измеримая интенсивность.

Теорема 8. Для на множестве Р - п. н.

,

где - интенсивность считающего процесса , т. е. .

Доказательство. Пусть – ограниченный, - предсказуемый, случайный процесс, причем . Очевидно, что . (14)

Без ограничения общности, можно считать, что , где - ограниченный предсказуемый процесс. Из (14) имеем

. (15)

Пусть , где . Тогда (15) можно переписать в виде

.

Отсюда, в силу произвольности t, следует равенство

.

Следовательно .

В силу правильности множества получаем, что

.

Доказательство закончено.

7. Определение случайной меры, меры Далиан, компенсатор опциональной случайной меры (Теорема 11).

Напомним определение - конечной меры.

Определение. Мера называется  - конечной, если для любого замкнутого ограниченного множества существует последовательность множеств , где , такая, что: a) при , б) .

Определение. Мера называется случайной и обозначается , где , если:

а) при фиксированных  и A как функция t является случайным процессом, б) при фиксированных  и t  - конечная мера, в) для .

Пусть - измеримая функция такая, что определён интеграл Лебега обозначаемый .

Обозначим .

Определение. Случайная мера  называется опциональной (предсказуемой), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х процесс является опциональным (предсказуемым).

Обозначим .

Определение. Меру назовем мерой Долиан, если .

Отсюда следует, что для всякой неотрицательной - измеримой функции X(, t, x) определен интеграл по мере Долиан:

.

Определение. Мера Долиан называется конечной, если . Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера  принадлежит классу (пишем ), если .

Определение. Mepa Долиан называется - -конечной, если существует последовательность множеств таких, что , где , и для .

Определение. Будем говорить, что опциональная случайная мера принадлежит классу (пишем ) если , где и .

Теорема 9. .

Определение. Будем говорить, что случайные меры и совпадают Р - п. н. (пишем ), если для любой неотрицательной - измеримой функции Х .

Из этого определения следует утверждение.

Теорема 10. Пусть и - опциональные случайные меры такие, что:

а) для любой - измеримой X; б) хотя бы одна из них принадлежит . Тогда .

Определение. Компенсатором опциональной случайной меры называется предсказуемая мера (т. е. ) такая, что для любой неотрицательной, - измеримой функции Х( , t, х) .

Теорема 11. У всякой опциональной случайной меры существует и притом единственный компенсатор , т. е. (с точностью до нулевой меры Р). (Доказательство следует из теоремы Дуба - Мейера).

8. Случайные меры и мультивариантные точечные процессы (Теорема 14).

Пусть - m - вариантный точечный процесс, a

, - считающие процессы, где .

Пример. Пусть - случайный процесс определённый соотно­шением - пуассоновский случайный процесс с интенсивностью . Ясно, что процесс принимает два значения {-1, 1}, причём время пребывания в состоянии -1 или в состоянии 1 распределены экспонен-циально с параметром . Этот процесс имеет кусочно-постояные траектории и непрерывен справа, поэтому он опционален. Через обозначим число попаданий в состояние 1(-1) за время t процессом . Очевидно, что если для , то можно построить следующим образом:

,

.

Ясно также, что с помощью и можно описать процесс

,

так как . Легко показать, что для справедливо предста­вление

,

причем - ограниченные мартингалы (относительно меры Р) для .

Приведённый выше пример служит основой для дальнейших построений.

Перейдем теперь к построению целочисленной случайной меры k - вариантного точечного процесса и её компенсатора.

В предыдущих параграфах мы установили связь между скачко-образными и мультивариантными точечными процессами. Итак, пусть - скачкообразный опци­ональный случайный процесс со значениями в Е, причём . В соответствии с результатами параграфа 13 для процесса определена целочисленная случайная мера , где - последовательность марковских моментов, исчерпывающая скачки процесса , . Очевидно, что при фиксированных это опциональный неубывающий процесс, т. е. при t  s. Стало быть, является субмартингалом и по теореме Дуба-Мейера существует компенсатор , т. е. является мартингалом относительно потока и меры Р. Предположим дополнительно, что имеет неслучай­ную матрицу интенсивности перехода . Тогда в силу теоремы 35 допускает представление:

. (9)

Обозначим - число переходов процесс из состояния j в состояние i за время t. Ясно, что его можно представить в виде:

.

Найдём компенсатор - случайной меры . Сначала заметим, что

.

Отсюда, в силу (9), имеем:

. (16)

Заметим: 1) для Р - п. н.

;

2) так как - ограниченный предсказуемый процесс, то

стохастический инте­грал является мартингалом. Поэтому процесс является компенсатором - целочисленной случайной меры относительно меры P.

Очевидно, что

_t = _t - _t- = . Учитывая, что траектория процесса кусочно-постоянна, получаем, . Поэтому

.

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 14. Пусть опциональный процесс с кусочно-постоянными траекториями, конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности переходов размера - . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) целочисленная случайная мера допускает представление ,

где - последовательность марковских моментов (опциональных), исчерпывающая скачки процесса ;

2) компенсатор целочисленной случайной меры имеет вид

;

3) процесс допускает представление

.

Замечание. В общем случае, если - опциональный скачкообразный процесс с кусочно-постоянными траекториями, со значениями в , как легко показать, допускает представление

_t = ₀ + ,

где .

9. Процесс восстановления, функция восстановления (определения). Выведите уравнение восстановления (Теорема 15).

Рассмотрим вероятностное пространство . Пусть на нём задана последовательность неотрицательных, независимых в совокупности, одинаково распределённых, случайных величин , с функцией распределения . Обозначим и . Положим - считающий процесс. Этот процесс в теории восстановления называют простым процессом восстановления, который имеет следующую интерпретацию: в момент времени нуль начинает функционировать некоторое устройство, которое функционирует до момента времени , в момент времени оно выходит из строя, т.е. ломается, его мгновенно ремонтируют и снова это устройство нормально функционирует до момента времени , в момент времени оно выходит из строя и его мгновенно ремонтируют и т. д. Очевидно, что N(t) - это число восстановлений устройства к моменту времени t.

Обозначим через - функцию распределения случайной величины

, т.е. . Так как , то равно n-кратной свёртке функции распределения , которую обозначим через . Ясно, что .

Обозначим через – среднее число восстановлений за время t, называемое функцией восстановления. Ясно, что .

.

Доказательство. Очевидно, что . Рассмотрим , очевидно

.

Последнее равенство имеет место, так как . Возьмём теперь математическое ожидание относительно левой и правой частей получившегося равенства. В результате получаем утверждени.

Доказательство закончено.

Теорема 15. H(t) удовлетворяет уравнению

(1)

(Уравнение (1) называют уравнением восстановления).

Доказательство. Из определения функции восстановления H(t) и теоремы 1, имеем

Так как , то . Поэтому ряд - сходится. Отсюда следует:

.

Поэтому в силу теоремы Фубини имеем:

.

Доказательство закончено.

10. Узловая теорема теории восстановления (Теорема 17).

Теорема 17 (Узловая). Пусть . Пусть P – п.н. при . Тогда при .

Доказательство (набросок). Так как – точечный процесс, то - п. н. . Разделим правую и левую части этого неравенства на , имеем - п. н.

.

Очевидно - п. н. при . Поэтому при в силу закона больших чисел. Доказательство закончено.

11. Выведите уравнение, описывающее эволюцию длины очереди (Теорема 18).

Пусть на стохастическом базисе заданы 2 точечных процесса , i=1,2, и неотрицательная, интегрируемая, - измеримая случайная величина .

Определение. Точечный процесс будем называть входным потоком.

Определение. Случайную величину - измеримую будем называть внутренним состоянием или начальной очередью.

Определение. Пусть , а . Процесс назовём простым процессом обслуживания или очередью.

Теорема 18. Пусть – простой процесс обслуживания. Тогда он допускает представление P –п. н.

. (4)

Доказательство. Момент времени является моментом скачка вниз процесса если и только если выполняются условия: а) ,

б) . Поэтому - п. н.

. (5)

Так как , то из (5) следует, что P - п. н.

. (6)

Из (6) следует, что P - п. н.

. (7)

Очевидно, что P - п. н. для любого , поэтому P - п. н. для любого . Из определения процесса следует, что для любого P - п. н., в силу (7),

Отсюда следует утверждение теоремы.

Определение. Точечный процесс , определяемый равенством , называется выходным потоком.

12. При каких условиях решения стохастического уравнения, описывающего эволюцию длины очереди, имеет единственное сильное решение (Теорема 19).

Без ограничения общности можно считать, что .

Определение. Будем говорить, что

(4)

(4) имеет сильное решение, если для любого - измеримо, Р - п. н. и обращает (4) в тождество.

Определение. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Будем говорить, что (4) имеет единственное сильное решение, если Р - п. н., где .

Теорема 19.Уравнение (4) имеет единственное решение.

Доказательство. Из уравнения (4) следует, что для любого Р - п. н.

.

Отсюда следует, что Р - п. н. для любого .

Заметим, что если решение уравнения (4) существует, то оно имеет кусочно-постоянную траекторию. Поэтому доказательство того факта,

что - измеримо проведём по индукции. Пусть - измеримо. Покажем, что - измеримо, где и – марковские моменты, которые нагружают простой процесс обслуживания. Из (4) следует, что при Р - п. н. Поэтому при Р - п. н. .

Из последнего равенства следует, что - измеримо. Таким образом, основной шаг индукции обоснован, а вместе с ним установлено существование решения уравнения (4).

Перейдём теперь к доказательству единственности решения (4). Его мы также проведём по индукции. Пусть – два решения уравнения (4), причём . Так как имеет кусочно-постоянные траектории, то Р - п. н. для

. (8)

Рассмотрим разность . Пусть Р - п. н. Покажем, что Р - п. н. Из (8) следует, что Р - п. н. .

Отсюда следует, что основной шаг индукции доказан, а вместе с ним и утверждение теоремы.

13. Выведите уравнение, описывающее эволюцию распределения вероятностей длины очереди (Теорема 20).

Теорема 20. Пусть для любого Р - п. н. Пусть и измеримы интенсивности точечных процессов и , а ,

. Тогда для любого

(9)

Доказательство. Рассмотрим . В силу условий теоремы, имеем

(10)

Заметим теперь, что:

i) . (11)

ii) (12)

Поэтому (10) с учетом (11) и (12) можно переписать в виде:

(13)

Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей равенства (13). Учитывая, что:

1. ,

2. ,

Имеем

.

В силу теоремы Фубини и того, что мера Лебега одноточечных множеств равна нулю, последнее равенство можно переписать в виде:

(14)

Заметим теперь, что для любого имеем:

i) (15)

,

ii)

. (16)

Поэтому (14) с учетом (15), (16) будет иметь вид (9). Доказательство закончено.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 20. Тогда для любых и почти всех t существует производная и , удовлетворяет уравнению Колмогорова:

(17)

Доказательство. Из доказательства теоремы 9 следует, что для любого абсолютно непрерывнa относительно меры Лебега. Отсюда, в силу теоремы Радона – Никодима, существует плотность для почти всех t. Отсюда следует утверждение следствия.

14. Опишите простейшую систему массового обслуживания с обратной связью (Теоремы 21-23).

Пусть на стохастическом базисе заданы два точечных процесса , с - измеримыми интенсивностями , соответственно, кроме того, на нем задана последовательность бернулли-евских случайных величин , принимающая значения {0,1}, причем . Предположим, что - последовательность марковских моментов, которые нагружают точечный процесс . Обозначим опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями:

Осуществим прореживание точечного процесса с помощью последовательности :

Как и в §1, введем процессы .

Очевидно, что Р – п. н. для любого . Теперь определим простой процесс обслуживания и назовем его процессом обслуживания для системы с обратной связью. Ясно, что:

Обозначим

и назовем его процессом (потоком) обратной связи.

Через обозначим процесс:

(20)