- •1.Теоремы о непрерывных функциях на [a,b]
- •2.Основные теоремы дифференциального исчисления. Т Ферма и Ролля.
- •3.Теоремы Лагранжа и Коши
- •4.Монотонность и экстремумы. Теорема
- •5.Выпуклость и точки перегиба. Теоремы.
- •6.Асимптоты. Теорема о нахождении правой и левой асимптоты.
- •7.Общее исследование функции.
- •8.Комплексные числа. Определение и алгебраическая форма.
- •13. Многочлены и дробно-рациональные функции.
- •14.Разложение правильной дроби в сумму простейших.
- •15.Первообразная. Теорема.
- •16. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •21. Интегрирование простейших дробей.
- •22)Вычеслить: и
- •23) Вычислить :
- •24)Реккурентная формула для
- •25)Интегрирование дробно-рациональных функций
- •31)Определённый интеграл и его свойства(1-6)
- •32)Определённый интеграл и его свойства (7-13)
- •33)Вычисление определённого интеграла формулой Ньютона-Лейбница
- •34)Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле
- •35)Приложения определённого интеграла
- •36)Дифференциальные уравнения .Основные определения.
- •37)Уравнения с разделяющимися переменными
- •38)Однородные дифференциальные уравнения
- •39)Линейные уравнения и метод Бирнулли
- •40)Линейные дифференциальные уравнения.Определения и структура решения
- •41)Решение линейных однородных уравнений
- •42)Решение линейных неоднородных уравнений
41)Решение линейных однородных уравнений
Рассмотрим на [a; b] линейное однородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0.
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений этого уравнения, то общее решение уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные.
42)Решение линейных неоднородных уравнений
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
Общим решением этого уравнения на отрезке [a;b] называется функция y = Φ(x, C1,..., Cn ), зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn и удовлетворяющая следующим условиям :
− при любых допустимых значениях постоянных C1,..., Cn функция y = Φ(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения на [a; b] ;
− какова бы ни была начальная точка (x0, y0, y1,0 ,..., yn − 1,0 ) , x0∈ [a;b] , существуют такие значения C1 =C10 , ..., Cn = Cn0 , что функция y = Φ(x, C10 , ..., Cn0) удовлетворяет начальным условиям y(x0) = y0, y '(x0) = y1,0 ,..., y(n − 1) (x0) = yn− 1,0 .
Справедливо следующее утверждение ( теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения).
Если все коэффициенты уравнения линейного однородного дифференциального уравнениния непрерывны на отрезке [a;b] , а функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),
где C1,...,Cn — произвольные постоянные, y*(x) — частное решение неоднородного уравнения.