15.Первообразная. Теорема.

Определение. Функция F называется первообразной функции f в интервале I, если F’(x)=f(x)

для всех x из I.

Таким образом, процесс взятия первообразной является обратным к процессу взятия

производной. Любая конкретная функция, являющаяся первообразной данной функции,

будет называться ее частной первообразной.

Т.1: (теорема существования) Любая непрерывная на X функцияи меет первообразную F(x) на X

.

16. Неопределенный интеграл и его свойства.

Неопределённый интегра́л для функции f(x) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F(x) — её первообразная, то есть F’(x) = f(x) при a<x<b , то ,где С — произвольная постоянная.

Свойства

1.

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постояннойю

3. где к -- произвольная постоянная.

4. Интеграл от суммы(разности) равен сумме(разности) интегралов:

17.Таблица интегралов.

18. Элементарные методы нахождения интегралов.

Интегрирование произведения (функции) на постоянную

Интегрирование суммы функций:

19. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла.

20. Замена переменной в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

21. Интегрирование простейших дробей.

22)Вычеслить: и

=u= , du= ; dv=dx, v=x =x – x -

x -

- +c

dx=u= , du= , dv=dx, v=x = x – x - = + +c

23) Вычислить :

В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

Решив полученную систему, получаем:

Можно двойноt интегрирование по частям

=u= du= adx,dv=cos(bx)dxv=(1/b)*sin(bx)

=(1/b)* sin(bx)-a/b =u= dv=sin(bx)dxv=(1/b)cos(bx)=

=(1/b)

Найдём их, полагая (соответственно ) и (соответственно ). Тогда интеграл преобразуется к виду:

Повторное интегрирование по частям с тем же выражением и () даёт:

Мы получили линейное уравнение относительно интересующего нас интеграла. Раскрывая скобки и перенося интеграл в левую часть, найдём, что:

24)Реккурентная формула для