25)Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Алгоритм интегрирования рациональной функции R(x)

• Выделяем целую часть, если функция R(x) неправильная. (числитель делим на знименатель)

• Находим нули знаменателя функции R(x).

• Разлагаем знаменатель функции R(x) на линейные множители, соответствующие действительным нулям и квадратные трехчлены, соответствующие парам комплексно сопряженных нулей знаменателя.

• Разлагаем правильную часть функции R(x) на сумму элементарных дробей.

• Интегрируем целую часть (если она есть) и элементарные дроби.

• Складываем полученные интегралы.

Есть три случая:

-Знаменатель рациональной дроби имеет вещественные корни(многочлены равны тогда и только тогда если равны коэффициенты при одинаковых степенях многочлена .Чтобы найти коэффициенты АВС нужно слева и справа приравнять коэффициенты)

-Знаменатель правильной дроби имеет только вещественные корни, некоторые их них кратные(пример:х¹⁷=1, 17 корней x=1 и 8 пар сопряжённых)

-Правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет комплексные корни(пример:x²=-1.x_1,2=+-i)

26) Интегрирование выражений ,содержащих радикал(Иррациональная).Вида :R( )

Где R-рациональная функция от двух аргументов, m-натуральное число,а остальные переменные постоянные(  )

Интеграл перейдёт в

27)Подстановка Чебышева

.

28)Подстановка Эйлера

29)Интегрирование тригонометрических функций

30)Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а — д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е.

S=F(b)-F(a). Пример 1

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.

Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ox):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью ox, поэтому:

Криволине́йная трапе́ция — плоская фигура, ограниченная графиком неотрицательной непрерывной функции , определенной на отрезке [a; b], осью абсцисс и прямыми х=а и х=в .

Для нахождения площади криволинейной трапеции пользуются интегралом. Или

Это значит, что площадь криволинейной трапеции можно найти по сумме значений функции y=f(x) взятые через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a до b

Можно сказать, что мы разбили криволинейную трапецию на бесконечное число прямоугольников, длина каждого из которых равна ординате функции f(x) через бесконечно малые промежутки по оси Ох на отрезке от a до b , а ширина - бесконечно малому значению х, нашли их площади произведением длины на ширину и сложили. Предел суммы их площадей равен площади криволинейной трапеции.