37)Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме:

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

38)Однородные дифференциальные уравнения

Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение может быть записано в виде

или

где , - однородные функции одной и той же степени, т.е. для некоторого натурального числа и для произвольного справедливы равенства

Для решения однородного дифференциального уравнения необходимо сделать замену переменных , которая сводит однородное дифференциальное уравнение к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

39)Линейные уравнения и метод Бирнулли

40)Линейные дифференциальные уравнения.Определения и структура решения

Определение 1: Дифференциальное уравнение 2-ого порядка вида

, (1)

где и данные на функции называется линейным ДУ 2-ого порядка (ЛНДУ).

Определение 2: Линейное ДУ 2-ого порядка

, (2)

где данные действительные постоянные числа, а известная непрерывная на интервале функция, называется линейным ДУ с постоянными коэффициентами.

Определение 3: Если в ДУ (2) на , то уравнение

(3)

называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентами.

. Однородное линейное ДУ(3), левая часть которого

такая же, как в неоднородном линейном ДУ(2),

называется соответствующим ему однородным

уравнением.

Определение 4:функции называются линейно независимыми на интервале I ,если .в противном случае функции линейно независимые.

Определение 5: Совокупность двух линейно независимых решений ДУ называется фундаментальной системой решений данного уравнения.

Теорема 6.1.(о структуре общего решения ЛОДУ):

Пусть -фундаментальная система решений ДУ, тогда общее решение этого уравнения имеет вид

где С₁,С₂– произвольные постоянные.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение ЛНДУ с постоянными коэффициентами (2). Имеет место теорема о структуре его общего решения:

Теорема 6.2. (о структуре общего решения ЛНДУ):

Общее решение y ЛНДУ (2) есть сумма общего решения y₀ соответствующего однородного уравнения ЛОДУ и любого частного решения неоднородного уравнения:

Таким образом, чтобы найти общее решение ЛНДУ, нужно найти общее решение соответствующего ЛОДУ и какое-нибудь частное решение ЛНДУ. В общем случае задача отыскания частного решения является сложной.

Частное решение ЛНДУ можно найти методом вариации произвольных постоянных или методом подбора (метод неопределенных коэффициентов).