1.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

При выводе формулы Эйлера рассмотрен так называемый основной случай нагружения и закрепления концов сжатого стержня с шарнирно опертыми концами. При этом после потери устойчивости на длине стержня укладывается только одна полуволна синусоиды (штриховая линия на рисунке 1.2).

Используя особенности изогнутой оси сжатого стержня, оказывается возможным довольно просто распространить полученное решение и на другие случаи закрепления.

Р исунок 1.3

Формула для определения критической силы сжатого стержня для любого случая его закрепления получена в виде:

. (1.6)

где - так называемый коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления сжатого стержня, а величина называется приведенной длиной. Приведенная длина может быть истолкована как некоторая условная длина шарнирно опертого стержня, имеющего такую же критическую силу, как заданный стержень с другим случаем закрепления.

Таким образом, определение критической силы для любых случаев закрепления концов сжатого стержня может производиться по формуле (1.6). Надо, однако, помнить, что в этой формуле представляет собой не действительную длину стержня, а условную (приведенную) длину.

Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института путей сообщения Ф.Ясинским в 1892г.

Как видно из формулы (1.6), чем меньше , тем больше критическая сила, а, следовательно, и допускаемая нагрузка на стержень. Например, нагрузка на шарнирно закрепленный стержень, имеющий посередине опору (рисунок 1.3,в - ), может быть в 16 раз больше нагрузки на стержень, заделанный одним концом (рисунок 1.3,а - ) . Поэтому там, где возможно, следует осуществлять закрепление сжатого стержня, обеспечивающее наименьшее значение коэффициента .

1.4 Пределы применимости формулы Эйлера

Формулой Эйлера можно пользоваться не всегда. При ее выводе использовалось дифференциальное уравнение изогнутой оси, вывод которого основан на законе Гука. Закон же Гука, как известно, справедлив до тех пор, пока напряжения не превосходят предела пропорциональности.

Чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение, то есть напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической нагрузки:

. (1.7)

При этом - наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня. Тогда формулу (1.7) можно записать в виде:

. (1.8)

Величину обозначим через :

, (1.9)

и будем называть гибкостью стержня. Из формулы (1.9) видно, что гибкость стержня зависит от его длины, размеров поперечного сечения и способа закрепления концов. Тогда выражение (1.8) для критического напряжения принимает вид:

. (1.10)

Как видим, напряжение возрастает по мере уменьшения гибкости. Чтобы можно было пользоваться формулой Эйлера, необходимо, как отмечено выше, удовлетворить следующему условию:

, (1.11)

где - предел пропорциональности материала стержня.

Записывая формулу (1.11) относительно гибкости, получаем условие применимости формулы Эйлера в виде:

. (1.12)

Из выражения (1.12) вводится понятие предельной гибкости, зависящей только от свойств материала стержня:

. (1.13)

Например, для стали Ст.3 МПа и МПа, тогда предельная гибкость равна:

.

Таким образом, для стержней из малоуглеродистой стали формула Эйлера применима, если их гибкость больше 100.

Зная величины Е и , по формуле (1.13) легко определить предельную гибкость любого материала. Например, для чугуна , для высокоуглеродистых и легированных сталей , для древесины и т.д.

Таким образом, формулу Эйлера можно применять для определения критической силы только при условии, что гибкость стержня больше или равна предельной гибкости для данного материала, то есть если . При гибкости стержня, меньшей , формула Эйлера неприменима, и задача об устойчивости стержня требует особого рассмотрения.