5. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям.

Пример 1

Вычислить интеграл .

Решение.

Используем формулу интегрирования по частям . Пусть . Тогда

Следовательно,

6. Теорема Безу

При делении многочлена f (x) = A0xn + A1xn-1 + … + An на разность х – а получается остаток, равный f (а).

Доказательство. При делении f (x) на х – а частным будет многочлен f1(x), степень которого будет на единицу ниже степени многочлена f (x) и остаток, который будет постоянным числом: f (x) = (х – а )·f1(x) + R. Переходя к пределу в левой и правой части этого равенства при х → а, получим R = f(а).

Если х = а — корень многочлена, то f (а) = 0 и многочлен f (x) нацело делится на разность х – а и многочлен представляется в виде

f (x) = ( х – а )·f1 (x),

где f1 (x) — многочлен.

7. Теорема о разложении многочлена на линейные множители

Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида х – а и множитель, равный коэффициенту при старшей степени xn.

Доказательство. Пусть f (x) = A0xn + A1xn - 1 + … + An — многочлен n – ой степени. Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет один корень а1. Тогда из следствия теоремы Безу будем иметь f (x) = (х – а1)·f1 (x), где f1 (x) — многочлен степени n - 1. Многочлен f1 (x) тоже имеет корень а2.

Тогда f1 (x) = (х – а2 )·f2 (x), где f 2 (x) — многочлен степени n – 2. Аналогично f2 (x) = (х – а3)·f3 (x). Продолжая процесс выделения линейных множителей, дойдём до соотношения fn(x) = (х – а n )·fn, где fn — число (многочлен нулевой степени), и это число равно коэффициенту при хn, то есть fn = А0. На основании всех этих равенств можно записать

f (x) = А0·( х – а 1)·( х – а2)· … ·( х – аn)

8. Разложение дроби на простейшие.

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

1.

2.

3.

4.

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?

Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции . После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Пример.

Разложить дробь на простейшие.

Решение.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):

Следовательно, исходная дробь примет вид:

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать