- •(Функция нескольких переменных)
- •1. Понятие функции двух и более переменных
- •1.1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка
- •3.Полный дифференциал
- •4. Производная сложной функции.
- •5.1Полный дифференциал
- •6. Касательная плоскость к поверхности
- •6.1Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •7.Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
- •8. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •9. Неявные функции
- •9.1Дифференцирование неявной функции
- •10. Экстремум функции
- •10.1Критические точки функции. Необходимое условие экстремума.
- •11. Достаточное условие экстремума
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
- •13. Достаточные условия экстремума функции двух переменных
- •14. Лагранжа метод множителей
- •(Интегральное исчисление)
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.1Таблица простейших интегралов
- •3. Метод подведения под знак дифференциала
- •4. Метод замены переменной
- •5. Интегрирование по частям
- •6. Теорема Безу
- •7. Теорема о разложении многочлена на линейные множители
- •8. Разложение дроби на простейшие.
- •9. Интегрирование рациональных дробей
- •10. Остроградского метод
- •11. Интегрирование тригонометрических функций
- •12 Интегрирование иррациональных выражений
- •14. Интегрирование дифференциального бинома
- •15 Интегрирование иррациональных функций
- •17. Формула Ньютона-Лейбница
- •18. Замена переменной в определенном интеграле
- •19. Несобственные интегралы.
- •20. Приближённое вычисление определённых интегралов
- •22. Длина дуги кривой.
- •23. Вычисление объема тела по площадям его параллельных сечений
- •24. Объем тела вращения.
- •25. Геометрическое и механическое приложения определенного интеграла
- •(Числовые ряды)
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •12. Оценка знакочередующегося ряда.
- •13. Знакопеременные ряды
- •14. Абсолютная и условная сходимость
- •15. Знакопеременные ряды
- •19. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •20. Признак Вейерштрасса Рассмотрим ряд
- •21. Степенным рядом называется ряд вида
- •22. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •24. Ряды Тейлора и Маклорена
9. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.
У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.
Например, неправильную дробь
можно представить в виде
Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.
Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:
При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:
10. Остроградского метод
Остроградского метод, метод выделения рациональной части неопределённого интеграла
где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х)— многочлен степени m £ n — 1.
О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство
где Q1, Q2, P1, P2— многочлены степеней соответственно n1, n2, m1, m2, причём n1 + n2= n, m1 £ n1 — 1, m2 £ n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q1(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q (x) и , и, следовательно, явное выражение Q1(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество
.
Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x) неопределённых коэффициентов методом.
О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским.
11. Интегрирование тригонометрических функций
Хорошо известно, что, например, решение тригонометрических уравнении можно получить многими способами: один - простой, но рутинный, а другой - трудный, но оригинальный. Т.е. для того, чтобы 'увидеть' оригинальный способ решения, нужно хорошо ориентироваться во всем множестве формул тригонометрии и знать специальные методы решения. Также обстоит дело и в интегрировании тригонометрических выражений, т.е. необходимо помнить много формул и свойств тригонометрии.
При интегрировании тригонометрических функций используются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения и , как функции отношения к и к соответственно, для эффективной замены переменных.
Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.
Для понижения четных степеней используются следующие формулы:
Для избавления от произведения используются следующие формулы:
Также нужно помнить формулы двойных углов: