- •(Функция нескольких переменных)
- •1. Понятие функции двух и более переменных
- •1.1 Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка
- •3.Полный дифференциал
- •4. Производная сложной функции.
- •5.1Полный дифференциал
- •6. Касательная плоскость к поверхности
- •6.1Понятие дифференциала. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •7.Производная по направлению и градиент функции нескольких переменных
- •8. Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •9. Неявные функции
- •9.1Дифференцирование неявной функции
- •10. Экстремум функции
- •10.1Критические точки функции. Необходимое условие экстремума.
- •11. Достаточное условие экстремума
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области
- •13. Достаточные условия экстремума функции двух переменных
- •14. Лагранжа метод множителей
- •(Интегральное исчисление)
- •1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1.1Таблица простейших интегралов
- •3. Метод подведения под знак дифференциала
- •4. Метод замены переменной
- •5. Интегрирование по частям
- •6. Теорема Безу
- •7. Теорема о разложении многочлена на линейные множители
- •8. Разложение дроби на простейшие.
- •9. Интегрирование рациональных дробей
- •10. Остроградского метод
- •11. Интегрирование тригонометрических функций
- •12 Интегрирование иррациональных выражений
- •14. Интегрирование дифференциального бинома
- •15 Интегрирование иррациональных функций
- •17. Формула Ньютона-Лейбница
- •18. Замена переменной в определенном интеграле
- •19. Несобственные интегралы.
- •20. Приближённое вычисление определённых интегралов
- •22. Длина дуги кривой.
- •23. Вычисление объема тела по площадям его параллельных сечений
- •24. Объем тела вращения.
- •25. Геометрическое и механическое приложения определенного интеграла
- •(Числовые ряды)
- •2. Свойства сходящихся рядов.
- •12. Оценка знакочередующегося ряда.
- •13. Знакопеременные ряды
- •14. Абсолютная и условная сходимость
- •15. Знакопеременные ряды
- •19. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов
- •20. Признак Вейерштрасса Рассмотрим ряд
- •21. Степенным рядом называется ряд вида
- •22. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •24. Ряды Тейлора и Маклорена
9.1Дифференцирование неявной функции
Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением
неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:
откуда
Замечания.
а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х2+у2+z2-4=0 определяет функции определенные в круге х2+у2≤4 , определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.
Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x0;y0;z0), причем F(x0;y0;z0)=0, а F'z(x0;y0;z0)≠0, то существует окрестность точки М0, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х0;у0) и такую, что ƒ(х0;у0)=z0.
б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле
Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением ez+z-х2у+1=0.
Решение: Здесь F(x;y;z)=ez+z-х2у+1, F'x=-2ху, F'y = -х2, F'z=ez+1. По формулам (44.12) имеем:
Пример 44.7. Найти если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у3+2у=2х.
Решение: Здесь F(x;у) = у3+2у-2х, F'x=-2, F'y = 3у2+2. Следовательно,
10. Экстремум функции
Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ) ( f (x 1 ) > f (x 2 )).
Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢ ( x ) > 0 ( f ¢ ( x ) < 0).
Точка x о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) £ f ( x о ) ( f ( x ) ³ f ( x о )).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ¢ ( x о ) = 0, либо f ¢ ( x о ) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f ¢ ( x ) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f ( x ) имеет производную f ¢ ( x ) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f ¢ ( x о ) = 0, >0 ( <0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f ( x ) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Так как f ¢ ( x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6( x -2)( x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f (2) = 14 и минимум f (3) = 13.
Пример 3.23. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение. Обозначим стороны площадки через x и y . Площадь площадки равна S = xy . Пусть y - это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2x + y = a . Поэтому y = a - 2x и S = x ( a - 2x), где 0 £ x £ a /2 (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откуда
y = a - 2 × a/4 =a/2. Поскольку x = a /4 - единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При x < a /4 S ¢ >0, а при x > a /4 S ¢ <0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 ( кв . ед ).
Поскольку S непрерывна на [0, a /2] и ее значения на концах S(0) и S( a /2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.