(Числовые ряды)
1. Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).
Рассматриваются числовые ряды двух видов
вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;
Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.
Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.
1.1Сумма
числового ряда
определяется
как предел, к которому стремятся суммы
первых n слагаемых ряда, когда n
неограниченно растёт. Если такой предел
существует и конечен, то говорят, что
ряд сходится, в противном случае — что
он расходится[1]. Элементы ряда представляют
собой либо вещественные, либо комплексные
числа.
2. Свойства сходящихся рядов.
1. Члены сходящегося ряда можно умножить на одно и то же число k. Полученный ряд будет сходиться, а сумма его будет в k раз больше суммы исходного ряда.
Доказательство. Для второго ряда частичная сумма будет равна . По теореме о предельном переходе в равенстве 2. Члены сходящегося ряда можно группировать. Полученный ряд будет сходиться, и сумма его не изменится.
Сгруппируем члены ряда, например, так. Видно, что частичные суммы группированного ряда представляют собой подпоследовательность последовательности частичных сумм исходного ряда. Так как последовательность сходится, то и подпоследовательность сходится к тому же пределу.
3.В сходящемся ряде можно отбросить конечное число первых членов . Полученный ряд будет сходиться, а его сумма будет меньше суммы исходного ряда на B.
Запишем частичные суммы второго ряда . По теореме о предельном переходе в равенстве .
Замечание. Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых k членов, называется остатком ряда и обозначается
4. Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился остаток ряда. (Докажите это самостоятельно, используя доказательство свойства 3).
Поэтому сходимость ряда можно исследовать, «начиная с некоторого n».
5. Сходящиеся ряды можно складывать (или вычитать), получая сходящийся ряд с суммой, равной сумме (или разности) сумм исходных рядов.
Рассмотрим два сходящихся ряда и . Рассмотрим ряд , где . . Переходя к пределу в равенстве, получим.
Примеры.
1. Ряд —58+100+1+0,5+0,25+0,125+… сходится. В самом деле, отбросив первых четыре члена ряда (свойства 3,4), получим сходящуюся бесконечно убывающую геометрическую прогрессию
2. Ряд расходится. Он представляет собой сумму двух рядов: сходящейся геометрической прогрессии (нечетные члены) и гармонического ряда (четные члены). Если бы этот ряд сходился, то, вычитая из него почленно сходящийся ряд , мы должны были бы по свойству 5 получить сходящийся ряд. А получаем расходящийся гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд расходится.
3. Ряд сходится. Рассмотрим сходящийся ряд . Группируем его члены , получаем исходный ряд. Следовательно, он сходится (свойство 2), и его сумма равна 1.
3. –
4. Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.
Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Доказательство
Необходимое условие
Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано
Достаточное условие
Дан
положительный ряд и последовательность
частичных сумм ограничена сверху.
Покажем, что наша последовательность(из
членов ряда) неубывающая:
Теперь используем свойство из теоремы
о монотонной последовательности и
получим, что последовательность частичных
сумм сходится (она монотонно не убывает
и ограничена сверху), следовательно ряд
сходится (по определению).
Уравнение:
Для
сходимости ряда необходимо и достаточно,
чтобы все отрезки этого ряда с достаточно
большими номерами
были сколь угодно малы. Другими словами,
ряд
сходится тогда и только тогда, когда
5. –
6. Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами
(17)
и
(18)
и каждый член ряда
(17) не превосходит соответствующего
члена ряда (18), т.е. выполняется
(n = 1, 2, 3, …). Тогда, если сходится ряд
(18), то сходится и ряд (17). Если ряд (17)
расходится, то ряд (18) также расходится.
Этот признак остается в силе, если
условие
выполняется не для всех n, а лишь начиная
с некоторого номера n = N.
7. Второй признак сравнения. Если существует конечный отличный от нуля предел
,
то оба ряда с положительными членами
и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
При использовании этих признаков исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией
,
q > 0, (19)
которая при q < 1
сходится и имеет сумму S = a / (1-q), а при q
1 расходится, или с расходящимся
гармоническим рядом
. (20)
8. Признак Даламбера. Если для ряда
(11)
существует предел
,
(12)
то ряд (11) сходится, если D<1 и расходится, если D>1.
9. Признак Коши. Если для ряда
(13)
существует предел
,
(14)
то ряд (13) сходится, если c<1, и расходится, если c>1.
10. Интегральный признак Маклорена – Коши. Этот признак построен на идее сравнения ряда с несобственным интегралом. Представим ряд с положительными членами в виде
,
(15)
где f (n) = un - значение некоторой функции f(x) при x = n, определенной в области x 1.
Если f(x) при x 1 непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд (15) сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл
,
т.е. существует конечный предел
.
(16)
11. Теорема Лейбница (признак Лейбница) — теорема об условной сходимости знакочередующихся рядов, сформулированная немецким математиком Лейбницем.
Формулировка
Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд
сходится, если выполняются оба условия:
