19. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой

Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство

Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

20. Признак Вейерштрасса Рассмотрим ряд

Пусть существует последовательность такая, что для любого выполняется неравенство

Пусть, кроме того, ряд

сходится. Тогда ряд

сходится на множестве Х абсолютно и равномерно.

Доказательство Достаточно проверить справедливость критерия Коши, то есть доказать, что . Но последнее неравенство следует из того, что а для ряда выполняется критерий Коши, то есть .

21. Степенным рядом называется ряд вида

a(/0)+a(/1)x+a(/2)x(\2)+...+a(/n)*x(\n)+...=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) (1)

Постоянные a0, a1,a2, ... называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая x различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися. Множество тех значений x при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, так как любой ряд сходится при x=0.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда Sn(x)=a0+a(/1)x+...+a(/n)*x(\n)

Является функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной x, определенной в области сходимости ряда.

S=S(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) или f(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n)

Докажем теорему, имеющее важное значение в теории степенных рядов и касающуюся области сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|

Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|

Доказательство. Заметим, что вследствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M. Запишем ряд (*) так

a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+..,

и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:

|a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+..,

В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем |x/x0|:

M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*|x/x0|(\2)+..

Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1

и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана.

Несмотря на то, что|an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно.