1.Определение линейного пространства

Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:

1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:

x + y = y + x − сложение коммутативно;

x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;

x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:

α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;

1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:

α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.

2.Базис линейного пространства.

Определение -> Базисом линейного пространства L называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства L является линейной комбинацией этих векторов. В отличие от трехмерного пространства векторов, в некоторых линейных пространствах базис не существует.

Теорема -> В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.

Определение -> Линейное пространство L , в котором существует базис, состоящий из n векторов, называется n -мерным линейным или векторным пространством. Число n называется размерностью пространства и обозначается dim L . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами.

3.Основные примеры линейных пространств и стандартные базисы в них.

Кроме выше описанного детального примера линейного векторного пространства можно привести еще массу примеров множеств, которые также являются линейными пространствами. К таким множествам относится

Множество всех полиномов фиксированной степени. Причем суммой двух многочленов будет являться многочлен с коэффициентами, равными суммам коэффициентов слагаемых, а произведением многочлена на число будет многочлен с коэффициентами исходного многочлена, умноженными на это число.

Матрицы порядка n. Суммой двух матриц является матрица, составленная из сумм элементов исходных матриц, а произведением матрицы на число будет матрица из произведений элементов исходной матрицы на это число. Нулевым элементом при этом будет матрица состоящая из одних нулей. Легко проверяется по аналогии с векторами на плоскости, что все аксиомы линейного пространства для множества квадратных матриц фиксированной размерности выполнены.

Элементы линейного пространства также по аналогии называют векторами, однако они могут и не быть обычными векторами плоскости или прямой, или трехмерного пространства. Векторами мы будем называть и матрицы и многочлены и все остальные математические объекты, которые удовлетворяют аксиомам линейного пространства.