Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тут Ответы.docx
Скачиваний:
0
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
339.48 Кб
Скачать

17. Характеристическое уравнение в математике

1) Х. у. матрицы — алгебраическое уравнение вида

;

определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы А = ||aik||n1 вычитанием величины l из диагональных элементов. Этот определитель представляет собой многочлен относительно Х — характеристический многочлен. В раскрытом виде Х. у. записывается так:

,

где S1 = a11 + a22 +... ann — т. н. след матрицы, S2 — сумма всех главных миноров 2-го порядка, т. е. миноров вида (i < k) и т.д., а Sn — определитель матрицы А. Корни Х. у. l1, l2,..., ln называются собственными значениями матрицы А. У действительной симметричной матрицы, а также у эрмитовой матрицы все lk действительны, у действительной кососимметричной матрицы все lk чисто мнимые числа; в случае действительной ортогональной матрицы, а также унитарной матрицы все |lk| = 1.

Х. у. встречаются в самых разнообразных областях математики, механики, физики, техники. В астрономии при определении вековых возмущений планет также приходят к Х. у.; отсюда и второе название для Х. у. — вековое уравнение.

2) Х. у. линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

a0ly (n) + a1y (n-1) +... + an-1y' + any = 0— алгебраическое уравнение, которое получается из данного дифференциального уравнения после замены функции у и её производных соответствующими степенями величины l, т. е. уравнение

a0ln + a1ln-1 +... + an-1 y' + any = 0.

К этому уравнению приходят при отыскании частного решения вида у = сеlх для данного дифференциального уравнения. Для системы линейных дифференциальных уравнений

, ,

Х. у. записывается при помощи определителя

Х. у. матрицы A = , составленной из коэффициентов уравнений данной системы.

18. Нахождение собственного вектора и собственных значений линейного преобразования (статья не окончена)

Рассмотрим пример:

>> A = [9 22 -6; -1 -4 1; 8 16 -5]

A =

9 22 -6

-1 -4 1

8 16 -5

>> [V,D]=eig(A)

V =

0.7071 0.8944 -0.4082

0.0000 -0.4472 0.4082

0.7071 -0.0000 0.8165

D =

3.0000 0 0

0 -2.0000 0

0 0 -1.0000

где А - Матрица преобразования для которой ищутся векторы и значений;

V - матрица собственных векторов линейного преобразования (векторы представлены в столбцах матрицы);

D - матрица, на диагонали которой находятся собственные числа линейного преобразования.

Теперь рассмотрим процедуру нахождения подробней, насколько требуют этого в университетской программе.

>> syms X x

>> A = [9 22 -6; -1 -4 1; 8 16 -5]

A =

9 22 -6

-1 -4 1

8 16 -5

>> X = A-eye(3)*x

X =

[ 9 - x, 22, -6]

[ -1, - x - 4, 1]

[ 8, 16, - x - 5]

>> det(X)

ans =

7*x - x^3 + 6

>> D = diag(solve(det(X)))

D =

[ -2, 0, 0]

[ 0, -1, 0]

[ 0, 0, 3]

>> B = A - diag(D(1,1)*ones(1,3))

B =

[ 11, 22, -6]

[ -1, -2, 1]

[ 8, 16, -3]

>> C = rref(B)

C =

[ 1, 2, 0]

[ 0, 0, 1]

[ 0, 0, 0]

>> B = A - diag(D(2,2)*ones(1,3))

B =

[ 10, 22, -6]

[ -1, -3, 1]

[ 8, 16, -4]

>> C = rref(B)

C =

[ 1, 0, 1/2]

[ 0, 1, -1/2]

[ 0, 0, 0]

>> B = A - diag(D(3,3)*ones(1,3))

B =

[ 6, 22, -6]

[ -1, -7, 1]

[ 8, 16, -8]

>> C = rref(B)

C =

[ 1, 0, -1]

[ 0, 1, 0]

[ 0, 0, 0]

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.