12 Интегрирование иррациональных выражений
Найдём неопределённый интеграл от иррационального выражения
Избавимся в первую очередь от иррациональности в числителе, домножив числитель и знаменатель подкоренного выражения на x − 1:
Первый интеграл является табличным, и найти его можно с помощью подстановки Чебышева:
I₁ = ∫dx/√(x² − 1) = ln|x + √(x² − 1)| + C
Во втором интеграле домножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на x:
Применим теперь подстановку t² = x² − 1. Тогда x² = 1 + t²; x·dx = t·dt
I₂ = ∫dt/(1 + t²) = arctg t = arctg√(x² − 1)
Окончательно:
I = ln|x + √(x² − 1)| − arctg√(x² − 1) + C
13. –
14. Интегрирование дифференциального бинома
Постановка задачи. Найти неопределенный интеграл
где
– рациональные числа.
План решения. Выражение
называется дифференциальным биномом.
Условия его интегрируемости в элементарных
функциях получены П.Л. Чебышевым. Интеграл
выражается через конечную комбинацию элементарных функций в следующих трех случаях:
1)
– целое число; в этом случае данный
интеграл вычисляется простым разложением;
2)
– целое число; в этом случае подстановка
,
где
– знаменатель дроби
,
приводит к интегралу от рациональной
функции.
3)
– целое число; в этом случае подстановка
,
где
– знаменатель дроби
,
приводит к интегралу от рациональной
функции.
Задача 13. Найти неопределенные интегралы.
15 Интегрирование иррациональных функций
Для интегрирования
иррациональной функции, содержащей
используется подстановка
.
Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.
Рациональная функция
x под знаком корня n-ой степени, т.е.
выражение вида
,
интегрируется с помощью подстановки
.
Интегрирование
иррациональных функций, содержащих
и
,
рассматривается на странице
Тригонометрические и гиперболические
подстановки
Пример 1
Найти интеграл
.
Решение.
Сделаем подстановку:
Вычислим интеграл
(ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
16. Постановка задачи — точная формулировка условий задачи с описанием входной и выходной информации.
Входная информация по задаче — данные, поступающие на вход задачи и используемые для её решения.
Выходная информация может быть представлена в виде документов, кадров на экране монитора, информации в базе данных, выходного сигнала устройству управления.
Постановка задачи разрабатывается организацией, разработчиком программной продукции, на основании технического задания совместно с заказчиком. Главный исполнитель — это разработчик.
17. Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница относится к математическому анализу и является основной формулой интегрального исчисления!
Ранее, когда мы рассматривали Формулу бинома Ньютона, мы сказали что Исааку Ньютону принадлежит роль "Отца современной математики". Ньютон вместе с Лейбницем, Огюстеном Коши, Кантором, Леонардом Эйлером и другими заложили основы современного дифференциального и интегрального исчисления, хотя строгое и стройное построение математического анализа возникло несколько позже.
Благодаря формуле Ньютона-Лейбница устанавливается связь между определенным и неопределенным интегралом. А именно:
Чтобы решить определенный интеграл, надо сначала вычислить неопределенный интеграл (или найти первообразную), а затем вычислить определенный интеграл, подставив первообразную подынтегральной функции в формулу Ньютона-Лейбница:
Здесь F(x) - первообразная для функции f(x)! Таким образом, чтобы применить формулу Ньютона-Лейбница, надо вычислить значение первообразной при верхнем пределе интегрирования B, при нижнем пределе интегрирования - A, а затем взять их разность F(b)-F(a). Вначале мы рассмотрим доказательство данной формулы, а затем приведем Примеры решения интегралов по основной формуле интегрального и дифференциального исчисления.