22. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Рассмотрим функцию
.
Ее областью определения является
множество тех значений x, при которых
ряд сходится. Область определения такой
функции называется интервалом сходимости.
Если интервал
сходимости представляется в виде
,
где R > 0, то величина R называется
радиусом сходимости. Сходимость ряда
в конечных точках интервала проверяется
отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
23. –
24. Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное
разложение сходится в некотором интервале
x, т.е.
, то оно называется рядом Тейлора,
представляющим разложение функции f
(x) в точке a.
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
