57. Лоду в чппп. Задача Коши.

уравнение (1), где - искомая функция.

ДУ линейно относительно частной производной. Предполагается, что в области функции и определены, непрерывны и непрерывны дифференцируемы и все одновременно.

Решение уравнения (1) – функция , имеющая непрерывные частные производные и обращающая (1) в тождестве по . Уравнение (1) – линейное неоднородное. Если и не зависит от , то уравнение линейное однородное: (2). Уравнение (2) имеет очевидное решение .

- характеристическая система (3)

Задача Коши: пусть , требуется найти решение , удовлетворяющее условиям: , . Если , то постоянное значение дается с номером , для которого . Геометрическая постановка задачи Коши: начальные условия задают поверхность размерности . Требуется найти интегральную поверхность размерности , проходящую через заданную поверхность размерности .

Алгоритм решения задачи Коши:

1. найти систему независимых первых интегралов для (3)

2. . Выразим , подставим в последнее уравнение: . Это возможно, т.к.

3. заменяем на

В итоге получим

58. Лнду в чппп. Общее решение.

уравнение (1), где - искомая функция.

Рассмотрим уравнение (1). Будем искать его в неявном виде (2), причем эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные и . Пусть такая функция найдена, тогда она обращает (2) в тождество. Продифференцируем его:

(3). (3) должно удовлетворять тождественно по при условии, что вместо подставлено его выражение из (2). Предположим, что (3) удовлетворяется тождественно по и , тогда модно разрешить (3) как ЛОДУ относительно . Ему соответствует характеристическая система (4), имеющая n независимых первых интегралов: , . Общее решение (1) находится в виде (5).

Решения уравнения (1), не входящее в (5) и соответствующее обращению (3) в тождество лишь в силу соотношения (2) – специальные. Общих методов их нахождения не существует. Они возникают, если нарушена непрерывность частных производных от коэффициентов , или когда все одновременно обращаются в 0.

59. Лнду в чппп. Задача Коши.

уравнение (1), где - искомая функция.

Характеристическая система (2)

Задача Коши: пусть , требуется найти решение , удовлетворяющее условиям: , . Если , то постоянное значение дается с номером , для которого . Геометрическая постановка задачи Коши: начальные условия задают поверхность размерности . Требуется найти интегральную поверхность размерности , проходящую через заданную поверхность размерности .

Алгоритм решения задачи Коши:

1. находим систему n независимых первых интегралов характеристической системы (2)

2. . Выразим , подставим в последнее уравнение: . Это возможно, т.к.

3. заменяем на

В итоге получим

60. Лнду в чппп. Обобщённая задача Коши.

уравнение (1), где - искомая функция.

Обобщенная задача Коши состоит в том, чтобы найти поверхность, проходящую через данную кривую Г.

Пусть Г задана параметрически: . Тогда из системы исключаем t и получаем

Пусть Г задана как пересечение двух поверхностей . Тогда исключаем и получаем , а - искомая.

Кроме того, могут представиться следующие случаи:

1) , содержит .

. Тогда задача Коши имеет единственное решение

2) , не содержит .

. Тогда задача Коши не имеет решений.

3) , . Тогда задача Коши имеет бесчисленное множество решений. В этом случае Г лежит на поверхности уровня первого второго и второго первых интегралов, следовательно, она лежит в их пересечении, а первые интегралы пересекаются по интегральным кривым характеристической системы, следовательно, Г – интегральная кривая характеристической системы или характеристика. Т.о. если Г – характеристика, то задача Коши имеет бесчисленное множество решений.