Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
du_1.DOC
Скачиваний:
4
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
1.75 Mб
Скачать

Билет №1

Основные определения: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, порядок уравнения, общее решение, начальные условия, частное решение. Физические примеры.

Определения. Дифференциальным уравнением называется соотношение для известной функции, в которое входят ее производные или дифференциалы. Если функция зависит от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных, если функция, входящая в него, зависит от нескольких независимых переменных. Примеры таких уравнений – соответственно уравнение Ньютона и уравнение Максвелла. Порядком уравнения называется порядок наивысшей производной, находящейся в уравнение. В примерах мы имели дело с обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Общий вид обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка для неизвестной функции y(x) таков: F(x, y, y’, y’’,…,y(n)) = 0. Здесь функция F обязательно должна зависеть от y(n). Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x, y, y’) = 0. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной: dy/dx = f(x,y). Определения. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, обращающая его в тождество. Частным решением называется решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (если оно единственно). Множество всех частных решений называется общим решением дифференциального уравнения. Как мы видели на примере, общее решение дифференциального уравнения первого порядка является семейством функций, зависящих от одного параметра: y = (x,c), где функция (x,c) дифференцируема по x. Из общего решения можно получить частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (x0, y0): ( x0,с) = y0 – уравнение для определения постоянной с. Решая его, получим с=с0. Следовательно, частное решение имеет вид: y = (x, c0). Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка, как правило, есть семейство функций, зависящих от n произвольных постоянных: y = (x, c1, c2,…,cn). Начальные условия должны давать возможность определить константы c1, c2,…,cn. Иногда общее решение дифференциального уравнения первого порядка получается в форме: (x,y,c) = 0 и называется общим интегралом. Частное решение, записанное в подобной форме, называют частным интегралом.

Билет №2

Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Интегральные кривые. Поле направлений. Метод изоклин.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида dy/dx = f(x,y), где f(x,y) определена в некоторой двумерной области GR2. Частное решение y = (x) обращает уравнение в тождество: d(x)/dx  f(x,(x)) и удовлетворяет начальным условиям (x0) = y0. При этом (x0, y0)  G. На плоскости y = (x) представляет кривую, проходящую через т. M0(x0, y0). Эта кривая называется интегральной кривой. По нашему определению, это – единственная кривая. Множество всех интегральных кривых соответствует общему решению уравнения. Геометрически ясно, что оно зависит от одного параметра – ординаты начальной точки. Из геометрического смысла производной следует, что тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой в т. x0 равен значению функции f(x0, y0): f(x0, y0) = d(x)/dx (x=x0). Таким образом, правая часть f(x,y) дифференциального уравнения задает в области G поле направлений. Будем отмечать это отрезками в области G (а не векторами, поскольку направление определено с точностью до ). Тогда интегральной кривой будет кривая, касательная к которой совпадает с направлением поля в каждой своей точке. Определение. Изоклиной называется кривая, в каждой точке которой поле имеет одно и то же фиксированное направление. Метод изоклин – способ построения интегральных кривых.

Билет №3

Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Приводимые к ним. Особые решения.

1. Простейшие дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, особые решения.

Простейшим диф. уравнением с разделяющимися переменными является уравнение:

dy/dx=f(x) (5). Предполагается, что f(x) непрерывна в интервале (a,b). Все решения этого уравнения даются формулой:y=  f(x)dx + c (6). Переобозначив с, его удобно записать в виде:

y= f()d + c. Если задано начальное условие: y=y0 при x= x0, то с= y0, и получаем частное решение: y= y0  f()d (7). В силу непрерывности f(x) входящий в (7) интеграл существует. Все решения уравнения (5) расположены в полосе a<x<b, -<y<, а интегральные кривые получают из (7) сдвигом параллельно оси OY.

Другим видом уравнения с разделяющимися переменными является: dy/dx=f(y) (8), где f(y) непрерывна в интервале c<y<d. Будем искать решения уравнения (8) в виде обратной функции к решению y=(x), т. е. В виде x=(y), где (y)=(-1)(y). Для этого запишем уравнение (8) в эквивалентной форме: dx/dy=1/f(y) (9). Это можно сделать, если f(y)<>0. Пусть  и  - два последних нуля функции f(y), т.е. f() = f() = 0 и при любых y(,): f(y)<>0. Тогда в интервале (,) уравнения (8) и (9) равноправны. В уравнение (9) правая часть в интервале (,) непрерывна и следовательно в соответствии с (6): x=(dy/ f(y)) + c (10). Здесь все интегральные кривые расположены в полосе (,) и получаются одна из другой сдвигом по оси OX. Предположим, что при y= интеграл dy/ f(y) сходится. Тогда интегральная кривая касается лини y=. Если, наоборот, при y= интеграл dy/ f(y) расходится, и 1/ f() = -. Тогда интегральная кривая асимптотически приближается к линии y=. Затем. Что формула (10) определяет y как однозначную функцию x. Действительно, поскольку функция f(y) не меняет знак в (,), то и не меняет знак и производная dx/dy, а значит функция x = (y) имеет однозначную обратную функцию y = (x) – решение уравнения (8). Помимо решения (10) прямые y= и y= являются так же решениями уравнения (8): d/dx  f(), d/dx  f(). Однако. Через любую точку прямой y= проходит одна интегральная кривая, а через любую точку прямой y= две интегральные кривые уравнения (8). Такие решения носят название особых. В нашем случае y= - особое решение. Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (8) не выражается одной формулой: x=(dy/ f(y)) + c, y=, y=. Особое решение возникает тогда, когда через каждую точку соответствующей интегральной кривой проходит (касается) другая интегральная кривая.

2. Приводимые к ним:

Рассмотрим уравнение dy/dx=f(ax+by), a,b  R (a,b<>0). Введем новую функцию z=ax+by. Тогда, dz=adx + bdy и (dz – abx)/bdx = f(z) или dz=(a + bf(z))dx. Таким образом, пришли к уравнению с разделяющимися переменными.

Определение: функция f (x1, x2,…, xn) называется однородной, если для произвольной действительного параметра t: f (tx1, tx2,…, txn) = tk f (x1, x2,…, xn), где k – некоторое натуральное число, показывающее “степень” однородной функции (её порядок).

Определение: Если правая часть дифференциального уравнения является однородной функцией нулевого порядка, то дифференциальное уравнение называется однородным:

dy/dx = (y/x). Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y/x = u, где u – новая функция. Тогда y=ux  dy/dx = u+x(du/dx) = (u). Следовательно: x(du/dx) = (u) – u. Допустим, что u1, u2,….-корни уравнения (u) – u = 0. Тогда u = u1 – есть решение полученного уравнения. Значит, прямые y = uix, проходящее через начало координат, являются интегральными кривыми. Считая u <> ui , находим: du/((u) - u) = dx/x или (du/((u) - u)) = ln|x| + ln|c| = ln|cx|. Отсюда, находим решение u = (cx), а по нему общее решение исходного однородного уравнения y = x(cx).

Билет №4

Однородные уравнения и приводимые к ним.

1. Однородные уравнения.

Определение: функция f (x1, x2,…, xn) называется однородной, если для произвольной действительного параметра t: f (tx1, tx2,…, txn) = tk f (x1, x2,…, xn), где k – некоторое натуральное число, показывающее “степень” однородной функции (её порядок).

Определение: Если правая часть дифференциального уравнения является однородной функцией нулевого порядка, то дифференциальное уравнение называется однородным:

dy/dx = (y/x). Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y/x = u, где u – новая функция. Тогда y=ux  dy/dx = u+x(du/dx) = (u). Следовательно: x(du/dx) = (u) – u. Допустим, что u1, u2,….-корни уравнения (u) – u = 0. Тогда u = u1 – есть решение полученного уравнения. Значит, прямые y = uix, проходящее через начало координат, являются интегральными кривыми. Считая u <> ui , находим: du/((u) - u) = dx/x или

(du/((u) - u)) = ln|x| + ln|c| = ln|cx|. Отсюда, находим решение u = (cx), а по нему общее решение исходного однородного уравнения y = x(cx).

2. Приводимые к ним.

Отметим основные способы сведения уравнений к однородным:

А) заменой функции y = z. Степень  подбирают так, чтобы уравнение стало однородным,

Б) уравнение: dy/dx = f((ax + by + c)/(a1x + b1y + c1)) приводится к однородному одновременной заменой и аргумента и функции: x = +, y = +, где константы  и  выбираются специальным образом. В силу произведенной замены: dx = d, dy = d, ax + by + c = (a + b) + a + b + c, a1x + b1y + c1 = (a1 + b1) + a1 + b1 + c1. Слагаемые, стоящие вне круглых скобок, полагаются равными нулю. Отсюда получается система уравнений для определения  и : ax + by + c = 0; a1x + b1y + c1 = 0 – система из двух уравнений. Данная система имеет единственное решение, если

 = Тогда исходное дифференциальное уравнение перейдет в однородное: d/d = f((a + b)/(a1 + b1)) = (/). Если  = 0, т.е. a1/a = b1/b = , то: dy/dx = f((ax + by + c)/((ax + by) + c1)), и оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = ax + by.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]