22. Некоторые способы понижения порядка дифференциального уравнения, неразрешенного относительно старшей производной.

Общий вид: F(x,y,y’, y’’, ... y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

1)предп-м, что в (1) отсутств. y и ее несколько первых произв-х. т.е. F(x, y^(k) , y^(k+1) ,..., y⁽ⁿ⁾), 1kn. заменяя y^(k) на z понижаем порядок уравнения до (n-k): F(x,z,z',...,z^(n-k))=0

2)пусть в левой части (1) аргумент x явно не присутствует: F(y,y’, y’’, ... y⁽ⁿ⁾)=0 здесь удобно ввести новую независимую переменную y, а за функцию взять y’=p. Тогда y' = dp\dx = (dp\dy)*(dy\dx) = p*p’_y; y’’’ = d\dy(p*p’_y)*dy\dx = p*d\dy(p*dp\dy); ... ; y⁽ⁿ⁾=(p*d\dy)^n-1p. подставляя все в уравнение, придем к дифф.у-ю (n-1)го порядка: G(y,p,...,p^(n-1))=0.

3)иногда левая часть у-я представляет собой полную производную, т.е. у-е приводится к виду: d\dx [R(x,y,y’,...,y^(n-1))]=0. тогда R(x,y,y’,...,y^(n-1))=c₁ и мы получаем дифф.у-е (n-1)го порядка.

4)Рассмотрим случай, когда левая часть у-я (1) явл-ся однор. ф-цией отн-но y и ее произв-х: F(x,ty,ty',...,ty^(n-1),ty⁽ⁿ⁾)=t^m*F(x,y,y’,...,y^(n-1),y⁽ⁿ⁾). Произв-м замену ф-ции: y=e^zdx. Тогда y'=z* e^zdx; y''=(z'+z²)e^zdx;...;y⁽ⁿ⁾= e^zdxP_n(z,z’,...,z^(n-1)); подставляя все в у-е, имеем: F(x, e^zdx, z* e^zdx,..., e^zdxP_n(z,z’,...,z^(n-1))) = {t= e^zdx} = e^mzdxF(x,1,z,...., P_n(z,z’,...,z^(n-1))) = 0. отсюда H(x,z,z’,...,z^(n-1)) =0, т.е. получили у-е (n-1)го порядка. Иногда функция F является обобщенно-однородной, т.е. F(еx,t^y,t^-1y',...,t^-ny⁽ⁿ⁾)=t^m*F(x,y,y’,...,y^(n-1),y⁽ⁿ⁾). Тогда удобно провести одновременную замену и аргумента и функции: х=e^, y=ze^. В рез-те имеем: y’=dy\dx=d\d(ze^)*d\dx = e^(-1)(dz\d+z);...; y^(k)=e^{( - k)}L_k(z,z’,....,z^(k)), где L_k – линейная функция переменных. Подставляя все в у-е получим: F(e^, ze^, e^(-1) L₁, ... ,e^(-n) L_n) = {t=e^} = e^m F(1,z,L₁,...,L_n) = 0, а отсюда F(1,z,L₁,...,L_n) = 0. данное у-е не содержит независ. переменной, и поэтому допускает понижение порядка.

23. Теорема существования и единственности решения линейного дифференциального уравнения n-го порядка. Понятие линейного дифференциального оператора, его свойства.

Опр: Линейным дифф.у-ем n-ного порядка наз-ся у-е вида y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y’+a_n(x)y = f(x), (2) в которое неизв-я ф-ция и ее произв-е входят линейно. Будем считать ф-ции a₁(x)...a_n(x), f(x) непрер. на [a,b]

Трм: Если ф-ции a₁(x)...a_n(x), f(x) в у-и (2) непр. на [a,b], то в области G:a<x<b, -<y<, ... , -<y^(n-1)< c начальной точкой (x₀,y₀,y₀’,...,y₀^(n-1)) cуществует единств. решение линейного у-я (2) y=(x) удовл-ее начальным усл-ям: (x₀) = y₀, ’(x₀) = y’₀,..., ^(n-1)(x₀) = y₀ ^(n-1), и определенное в окрестности точки x₀ : |x-x₀|h. Док-во: перенесем все слагаемые, кроме y(n) в правую часть у-я (2), приведя его к стандартной форме, y⁽ⁿ⁾ = -a₁(x)y^(n-1) - ... – a_n-1(x)y’ – a_n(x)y + f(x). Проверим выполнение доказанной ранее трм для у-я n-ного порядка с f(x,y,y',...,y(n-1)) = - + f(x). Ф-ция f непрерывна по совокупности переменных в области G в силу линейности по переменным y, y',...,y^(n-1) и условий трм о непр-ти a_i(x) и f(x). далее, поскольку = a_n-k(x), правая часть уравнения имеет непрерывные частные производные. Следовательно, на отрезке [a,b] эти производные ограничены. Поэтому все условия общей трм выполнены и сущ-т единств. реш-е у-я (2). Заметим, что можно доказать существование и единственность решения линейного дифф.у-я n-ного порядка методом последовательных приближений на всем интервале a<x<b при начальных усл-ях (x₀) = y₀, ’(x₀) = y’₀,..., ^(n-1)(x₀) = y₀ ^(n-1), где значения (y₀,y₀’,...,y₀^(n-1)) – любые. У-е (2) с f(x)0 наз-ся неоднор, если же f(x)=0, то у-е y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1)+...+a_n-1(x)y’+a_n(x)y = 0 (3) наз-ся однородным, соотв-м неоднор. у-ю (2). У-е (3) всегда имеет тривиальное решение y=0, которое удовлетворяет нулевым нчальным усл-ям (x₀,0,0,...,0). В силу доказанной трм такое реш-е единтсвенно.

Назовем выраж-е дифференциальным оператором. Такой оператор явл-ся линейным, поскольку обладает св-вом: для с₁, с₂ R.