41. Автономные и неавтономные динамические системы. Свойства решений автономных динамических систем (адс). Фазовый портрет и бифуркации.

Системы обыкновенных ДУ часто описывают динамику какого-либо процесса или физического явления.

, (1) – динамическая система.

Переменные , описывающие состояние системы – фазовые. Пространство фазовых переменных – фазовое пространство. В любой момент времени состояние динамической системы изображается точкой в фазовом пространстве – это фазовая или изображающая точка. Траектория движения фазовой точки – фазовая траектория. Фазовая траектория – проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси времени . На фазовой траектории стрелкой указывается направление, отвечающее движению фазовой точки со временем. Скорость движения фазовой точки по фазовой траектории – фазовая скорость.

Динамическая система – автономная, если ее правые части не зависят явно от независимой переменной .

, (2) – автономная ДС. Вектор фазовой скорости АДС в каждой точке имеет определенное значение.

Свойства решений АДС:

1. если , - решение (2), то - тоже решение

2. если две фазовые траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие им интегральные кривые получаются друг из друга сдвигом вдоль оси на константу, т.е. лежат на цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси .

3. Фазовые траектории АДС не пересекаются и дают полное представление об интегральных кривых (2)

Геометрическая картина расположения фазовых траекторий в фазовом пространстве – фазовый портрет динамической системы. Обычно динамическая система зависит от параметров: , . Введем в рассмотрение пространство параметров . Для каждой точки пространства параметров ДС имеет свой фазовый портрет. Два фазовых портрета, отвечающие разным значениям параметров – топологически эквивалентные, если существует биективное взаимнонепрерывное отображение, переводящее фазовые траектории из одной системы в фазовые траектории другой.

Т. о непрерывной зависимости решения от параметров работает на конечном промежутке времени и не гарантирует сохранения топологической структуры. Качественное изменение фазового портрета при переходя от одного фазового портрета к другому, топологически неэквивалентному – бифуркация. Поверхности пространства параметров, при переходе через которые происходит качественное изменение фазового портрета – бифуркационные.

42. Виды траекторий адс. Сравнение геометрической интерпретации адс в фазовом и расширенном фазовом пространстве.

, (1) – динамическая система.

Переменные , описывающие состояние системы – фазовые. Пространство фазовых переменных – фазовое пространство. В любой момент времени состояние динамической системы изображается точкой в фазовом пространстве – это фазовая или изображающая точка. Траектория движения фазовой точки – фазовая траектория. Фазовая траектория – проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси времени . На фазовой траектории стрелкой указывается направление, отвечающее движению фазовой точки со временем. Скорость движения фазовой точки по фазовой траектории – фазовая скорость.

Динамическая система – автономная, если ее правые части не зависят явно от независимой переменной .

, (2) – автономная ДС.

1. если , то фазовая точка не движется в фазовом пространстве, а стоит на месте. Фазовая траектория, для которой фазовая скорость равна 0 – состояние равновесия.

2. если решение (2) периодическое, т.е. , . Эта кривая может быть изолированной, т.е. можно указать окрестность, в которой нет других кривых, и неизолированной. Изолированная замкнутая траектория АДС II порядка – предельный цикл. Интегральные кривые – винтовые линии, оборачивающиеся по поверхности кругового цилиндра с шагом , образующая цилиндра параллельна оси .

3. Если решение непериодическое, то фазовая траектория незамкнута, а интегральные кривые располагаются на цилиндрической поверхности.