49. Общие методы интегрирования сду. Метод сведения нормальной системы n ду к ду n-го порядка. Метод исключений.

Метод сведения нормальной системы n ДУ к ДУ n-го порядка.

Пусть все имеют непрерывные частные производные до порядка включительно по всем аргументам. Последовательно дифференцируем одно уравнение системы и исключаем все ДУ, кроме одного. Если в него подставить решение, то оно обратится в тождество.

, , …, . Исключим . Это возможно, т.к.

или - уравнение n-го порядка. Пусть оно решено и найдено решение , тогда

Метод исключений.

Используя особенности системы пытаются исключить какие-то переменные.

, , т.е. . , , ,

50. Теория интегралов нормальных сду. Интеграл. Первый интеграл. НиД условие первого интеграла. Общий интеграл. Решение задачи Коши при наличии общего интеграла.

- система (1)

Интеграл системы (1) – функция , обращающаяся в константу вдоль любого частного решения системы. Будем предполагать, что интегралы (1) определены и непрерывны по всем переменным в области, где для системы выполняются условия т. Коши-Пикара.

Соотношение - первый интеграл системы (1). Геометрически первый интеграл при фиксированном является n-мерной поверхностью в -мерном пространстве, сплошь заполненной интегральными кривыми системы (1). При переменном получим семейство вложенных друг в друга поверхностей. Т.о. поверхности уровня первого интеграла вложены друг в друга и не пересекаются.

Т.: необходимым и достаточным условием того, что - первый интеграл системы (1) в области G выполнения условий т. Коши-Пикара, является выполнение соотношения

Следствие: для любого решения

Решение задачи Коши при наличии общего интеграла

Требуется выделить интегральную кривую, проходящую через . Если известен интеграл . Находим . Интегральная кривая, проходящая через определяется системой неявных уравнений: . Каждое соотношение – поверхность уровня соответствующего первого интеграла, проходящая через . Т.о. поверхности уровня различных первых интегралов пересекаются по интегральным кривым системы (1).

51. Независимость первых интегралов нормальной сду.

- система (1)

Первые интегралы независимы, если независимы интегралы, входящие в них. Из матана необходимым и достаточным условием независимости k функций является .

Т.: необходимым и достаточным условием независимости k первых интегралов является .

Следствие: необходимым и достаточным условием независимости n первых интегралов является

Если в области G выполнения условий т. Коши-Пикара известна полная система независимых первых интегралов системы (1), то система (1) глобально интегрируема в G.

Т.: чтобы получить в квадратурах общее решение автономной системы достаточно знать первые независимых первых интегралов, не содержащих независимой переменной.

Т.: если в области функции в системе (1) удовлетворяют условиям: 1) определены и непрерывны по совокупности перменных; 2) существуют непрерывные частные производные, то, хотя бы в малой окрестности любой внутренней точки , система (1) имеет полную систему независимых первых интегралов, т.е. локально интегрируема.