33. Лосду в нф. Фср. Теорема об общем решении.
ФСР – система n линейно независимых на частных решений ЛОДУ n-го порядка .
ФСР с - нормированная в .
ЛОДУ имеет бесконечное множество ФСР. При переходе от одной ФСР к другой вронскиан умножается на константу.
Т. об общем решении ЛОСДУ: пусть
коэффициенты
непрерывны на
,
а
- ФСР. Тогда общее решение есть линейная
комбинация
.
При любом наборе коэффициентов это
будет решением.
Доказательство: покажем, что любое
частное решение содержится здесь: по
т. Коши-Пикара для любого набора конечных
начальных условий существует единственное
решение. Покажем, что его можно выделить
отсюда:
.
Получена линейная неоднородная
алгебраическая система с определителем
,
следовательно, она имеет единственное
решение.
34. Задача о построении лосду, имеющей заданную фср.
Возьмем i-ое уравнение
и подставим в него каждое решение:
.
Относительно
получена линейная неоднородная
алгебраическая система с определителем
равным
,
и она имеет единственное решение. Удобно
записать ее в виде определителей:
,
.
Коэффициент при
- вронскиан для заданных решений, он
отличен от 0.
35. Лосду с ПостК. Т. Коши-Пикара. Метод Эйлера построения фср. Случай действительных различных корней характеристического уравнения.
(1) - ЛОСДУ с постоянными коэффициентами
Т. Коши-Пикара:
,
,
решение задачи Коши для (1) существует,
единственно и определено на всей числовой
оси.
Доказательство:
- непрерывная
Метод Эйлера построения ФСР:
,
(2). Хотя бы одно
,
т.к. отыскиваемое решение не тривиальное.
Подставим в систему, получим
.
Относительно
- линейная однородная алгебраическая
система. Чтобы она имела решение
необходимо
.
Таким образом, решение вида (2) существует,
если
- собственное число, а
- собственный вектор матрицы А.
Если
- действительные различные корни, а
.
Собственный вектор
определяется с точностью до множителя.
Если возможно, берут
,
а остальные
выражают через нее. Получаем n
решений
,
.
Докажем их линейную независимость от
противного.
.
Существует хотя бы одно
,
тогда рассмотрим k-ый
столбец. В нем существует
,
т.к.
- нетривиальный собственный вектор.
Рассмотрим j-ую строку. В
ней функции
линейно независимы, т.е.
,
…,
,
…, но
и
,
следовательно, обнаружено противоречие.
Таким образом,
.
36 Лосду с ПостК. Метод Эйлера построения фср. Случай комплексных и кратных корней характеристического уравнения. Теорема об интегрируемости.
(1) - ЛОСДУ с постоянными коэффициентами
Метод Эйлера построения ФСР:
, (2). Хотя бы одно , т.к. отыскиваемое решение не тривиальное. Подставим в систему, получим . Относительно - линейная однородная алгебраическая система. Чтобы она имела решение необходимо . Таким образом, решение вида (2) существует, если - собственное число, а - собственный вектор матрицы А.
Если есть
,
то, т.к. все коэффициенты системы
действительны, найдется и
.
Найдем комплексный собственный вектор
и запишем комплексное решение
.
Представим его по формуле Эйлера, получим
два решения:
,
.
Сопряженный корень рассматривать не
надо, т.к. он не даст новых линейно
независимых с найденными решений.
Если
- корень кратности m,
то для анализа этого случая используется
теория элементарных делителей. Нужно
вычислить 2 числа:
и
,
где m – кратность
корня
,
а n – порядок системы.
Если
,
то существует m линейно
независимых собственных векторов
и линейно независимых решений
.
Если
,
то существует
линейно независимых собственных векторов
и линейно независимых решений
.
Решение следует записать в виде
(*), где
- многочлены с неопределенными
коэффициентами степени l.
Среди неопределенных коэффициентов
m произвольных,
остальные выражаются через них. Полагая
поочередно один из произвольных
коэффициентов за единицу, а остальные
нулями, построим m линейно
независимых решений. Если
,
то они тоже будут действительными и
войдут в ФСР. Если
,
выделяя действительную и мнимую части,
получим 2m действительных
решений для ФСР.
Замечание: независимо от значения l,
можно искать в виде (*), полагая
,
при этом некоторые старшие коэффициенты
могут оказаться нулями.
Т.: общее решение ЛОСДУ всегда может быть получено в элементарных функциях.