![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
Дифференциальные
уравнения первого порядка можно
представить в дифференциальной форме
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0
(4)
равносильное дифференциальному
уравнению (3).
Если в дифференциальном уравнении (3)
функцию
допускаем разделение переменных т. е.
ее можно представить в виде
,
то дифференциальное уравнение (3)
называется
дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющими переменные
- дифференциального уравнения с
разделенными переменными. Интегрируя
и получим общий интеграл:
.
Замечание:
Отдельно
исследовать случай f2(y)=0
и если
функция определяемая уравнение f2(y)=0
удовлетворяет дифференциальному
уравнению и входит в общий интеграл
при котором с,
то его включают в общий интеграл.
Замечание
2: Дифференциальное
уравнение (4)
может быть дифференцируемым уравнением
с разделяющими переменными если в
функции P(x,y)
и Q(x,y)
допускают разделение переменных т. е.
P(x,y)=P1(x)P2(y)
Q(x,y)=Q1(x)Q2(y)
следовательно
дифференциальное уравнение (4)
принимает
вид. P1(x)P2(y)dx+Q1(x)Q2(y)dy=0
проинтегрируем
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
Функция
f(x,y)
называется
однородной функцией относительно
переменной x,y
n-го
порядка
если для любого λ,
f(λx,
λy)=
λnf(x,y).
Дифференциальное уравнение
называется однородным дифференциальным
уравнением если
однородная функция нулевого порядка,
т. е.
.
Для нахождения решения однородного
дифференциального уравнения делают
подстановку
или
отсюда находят
и подставляют в дифференциальное
уравнение получим:
- дифференциальное уравнение с
разделяющими переменными. Получаем
проинтегрируем пологая что
и исследуем отдельно. Примечание:
дифференциальное уравнение
является однородным дифференциальным
уравнением, если P(x,y)
и
Q(x,y)
однородные функции одного и того же
порядка.
3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
Дифференциальное
уравнения первого порядка вида
приводятся либо к однородным
дифференциальным уравнениям, либо к
дифференциальным уравнениям с
разделяющими переменными. а.
При с=с1=0
это очевидно:
.
б. Пусть
тогда делают подстановку:
,
где
,
,
t
– новая переменная
,
тогда
или
,
потребуем чтобы
эта система линейных уравнений
относительно
неоднородна, она имеет единственное
решение если ее определитель
т.е.
тогда
- однородное дифференциальные уравнения
относительно функции U
находим его общий интеграл
,
а следовательно находим и решение
исходного дифференциального уравнения
.
с. Пусть
т. е.
или
отсюда
и следовательно мы можем записать
или
тогда
-
дифференциальное уравнение с
разделяющимися уравнениями.
Замечание:
д.у. вида
,
где
-непрерывная
функция, интегрируется также , как и
д.у., рассматриваемое в этом пункте.