![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
Интегралы
вида:
,
где R-
рациональная дробь по
и
.
Здесь
производим
замену (
):
а).
a>0
и D>0
т. е.
не имеет действительных корней, тогда:
рационализируются т. е. сводится к
интегралу от рациональной дроби
подстановкой
:
т.
е. рационализируются.
б.
a>0
и D<0
т. е.
имеет действительные корни. В этом
случае
и рационализируются интеграл подстановкой
т.
е. рационализируется.
в.
a<0
и D>0
тогда at2+D=α2-t2
рационализируются подстановкой: t=αcosZ
и t=αsinZ
т. е. рационализируется.
Замечание: Кроме указанных тригонометрических подстановок могут использоваться и другие подстановки, а именно гиперболические.
а.
a>0
и D>0
Используем подстановку
получаем:
(т.
к.
)
б.
a>0
и D<0
Используем подстановку
получаем:
.
В этом случае лучше всего делать
тригонометрические подстановки:
t=αcosZ
и t=αsinZ
Замечание
№ 2: Кроме
тригонометрических подстановок
используют:
используют подстановки Эллера (1,2,3
подстановки).
1
подстановка Эллера: Если
a>0,
то делают подстановку
2
подстановка Эллера: c>0,
тогда
3
подстановка Эллера: Если
имеет действительные корни α и β то
делают подстановку
или
и находят x
и dx.
Замечание № 3: Существуют и другие классы интегралов от рациональных функций которые не всегда рационализируется а выражение в виде специальных функций к ним относятся эллиптические интегралы.
Определенный интеграл и его свойства (11)
Пусть
функция f(x)
определена и непрерывна на [a,b]
разобьем
отрезок [a,b]
точками x0=a,
x1
…, xn=b
на n
частичных отрезков [xi-1,
xi],
i=1,…,n,
обозначим через
длинна отрезка на каждом отрезков
[xi-1,
xi]
выберем произвольно
составим сумму
и назовем интегральной суммой для
функции f(x)
на [a,b].
Площадь
этой ступенчатой фигуры равна
.
Так как f(x)-непрерывная
функция на отрезке [a,b]
то она и ограничена на [a,b]
следовательно она ограничена и на
каждом отрезке [xi-1,
xi]
т.е. существует mi,
Mi,
что
для i=1,…,
n
следовательно
при
>0,
а следовательно
(
нижняя
интегральная сумма,
верхняя
интегральная сумма). Опр.
Если существует предел интегральных
сумм
,
когда
то этот предел называется определенным
интегралом от функции f(x)
на отрезке [a,b]
и образует
.
Итак
по определению
и этот предел не зависит как от способа
разбиения отрезка [a,b]
точкой xi
на частичные отрезки [xi-1,
xi],
так и от выбора точек
в них.
частные
случаи интегральной суммы
.
Численно при
на
[a,b]
равен площади криволинейной трапеции
ограниченной снизу осью абсцисс, сверху
кривой f(x)
с право кривой x=b,
слева кривой x=b.
Геометрический смысл определенного интеграла – площадь кривой трапеции.