- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Интегрирование рациональных функций (5-6).
Интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.
Интегрирование правильной рациональной дроби сводится к интегрированию простейших дробей вида I-IV.
Интегрирование правильной рациональной дроби:
Зная вычисляем К2, зная К2 вычисляем К3 и т. д. При разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей вида I-IV с неопределенными коэффициентами необходимо определить эти коэффициенты для этого используем метод неопределенных коэффициентов.
Для того чтобы найти коэффициенты А1, А2, … , Мαs, Nαs и т.д. приведем правую часть к наименьшему общему знаменателю т. е. к Q(x), после этого приравняем коэффициенты стоящие при одинаковых степенях в левой и правой частях этих дробей в результате получаем систему линейных уравнений относительно этих коэффициентов решая которые находят эти коэффициенты. Замечание: Часть коэффициентов в разложении правильной рациональной дроби на простые могут быть найдены более простым методом, методом вычеркивания, а именно коэффициенты при старших степенях x(x-ai) т. е. Аα1,.., Вα2
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций (подстановки ; ) (7).
Рассмотрим интегралы от выражения -рациональная дробь от двух переменных , т.е. отношение двух многочленов двух переменных, например;
используют другие подстановки, которые также рационализируют исходный интеграл. Рассмотрим некоторые из этих подстановок. Для этого нам потребуются следующие свойства рациональных функций:
1)
2)
2.Если то рационализируется подстановкой
Действительно,
т.е. рационализируется.
3.Если , то рационализируется подстановкой
4.Если , то рационализируется подстановкой
т.е. рационализируется.
5.Интегралы вида
Интегрируется применением тригонометрических функций
Интегрирование некоторых тригонометрических
функций (подстановка ) (8).
Рассмотрим интегралы от выражения -рациональная дробь от двух переменных , т.е. отношение двух многочленов двух переменных, например;
1. рационализируется, т.е. сводятся к интегралу от рациональной дроби относительно новой переменной и называется универсальной тригонометрической подстановкой. Эта подстановка довольно громоздкая.
Действительно,
Воспользуемся формулами:
Тогда т.к. рациональная дробь от рациональной дроби есть рациональная дробь, то -рационализируется. -рациональная дробь.
Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
1. Интегралы от линейных иррациональностей.
Рассмотрим интегралы вида:
называются интегралы от линейных иррациональностей, где R-рациональные дроби от своих аргументов, -несократимые арифметические дроби.
Такие интегралы рационализируются подстановкой , где
, где - целые числа
, т.е. рационализируется.
- рациональная дробь.
Интегралы от дробно линейных иррациональностей:
Интегралы вида: называются интегралами от дробно линейных иррациональностей, они рационализируются подстановкой .
целые числа, R- рациональная дробь по t.