- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
Функция вида , где Z комплексная пер-я – действит. Числа наз. Многочленом или рациональной функцией или полиномом.
Корнем многочлена f(z) называется такое значение z=z0, при котором
Теорема Безу: При делении многочлена на разность , в остатке получается постоянная R.
Действительно, при делении многочлена на , частным будет многочлен степени , т.е. справедливо представление: Это выражение верно при любом . При получим , что и требовалось доказать.
Следствие : При делении многочлена на разность , где -корень многочлена , то он делится на без остатка.
Действительно, если - корень многочлена n-ой степени, т.е. , то
Основная теорема алгебры: Любой многочлен n-ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Рассмотрим мн-н
Пусть – корень мн-на , тогда по следствию из т-мы Безу , где –мн-н (n-1) степени => по осн. т-ме алгебры 0 имеет корень по следствию из т-мы Безу имеем , где – мн-н нулевой степени, т.е.
Итак, любой мн-н n-ой степени (ненулевой) раскладывается на линейные мн-ли вида , где – корень мн-на и мн-ль =коэфф-ту при
Среди множители м.б. одинаковые => разложение = в общем виде будет иметь вид:
1) , где – кратности корней – соотв-но причём
Более того, среди корней м.б. комплексными. Т.к. – дествит. числа, то если – корень мн-на , то и также корень мн-на , т.к. в разложении м.б. произведения , где имеет действ. корней. Учитывая это разложение 1 принимает вид:
2) , где и
Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
Задачи приводящие к дифференциальным уравнениям:
Условие: тело массой m, падает на поверхность земли с высоты h, найдем закон движения υ(x): в нашем случае m=const, проектируя это уравнение на ось ОХ получим:
где ; или - дифференциальное уравнение 1го порядка.
Дифференциальное уравнение 1го порядка: Уравнения, связывающее независимую переменную х, функцию у, и ее производную т. е. уравнение вида называется дифференциальным уравнением первого порядка (обыкновенные). Порядок дифференциального уравнения определяется порядком производных. Примечание: Обыкновенные дифференциальные уравнения связывает независимую переменную х функцию у и ее производные до n-го порядка включительно и записывают . Решение дифференциального уравнения называют такую функцию которая будучи подставлена в дифференциальное уравнение (1) обращает его в тождество. Если дифференциальное уравнение (1) можно разрешить относительно производной то его называют дифференциальным уравнением первого порядка разрешенным относительно производной и записывают . Для уравнения (3) справедлива теорема о существовании и единственности его решения: Если для дифференциального уравнения функция и ее частная производная определены и непрерывны в некоторой области D на плоскости ОХY содержащей некоторую точку с координаты , то существует и притом единственное решения дифференциального уравнения удовлетворяющая условию при этом условие называется начальным условием для дифференциального уравнения (3). Геометрический смысл начального условия: Если y=y(x) решение дифференциального уравнения, то кривая описывающая этим решение проходит через точку (x0,y0=y(x0)). Функция называют общим решением дифференциального уравнения (3) если: 1. она удовлетворяет при любом с дифференциального уравнения (3). 2. для данного начального условия существует такое значение с=с0, что . Общим интегралом дифференциального уравнения (3) называют общее решение задаваемое не явно в виде уравнения в частности общее решение можно записать в виде общего интеграла . Частым решение называют общее решение при частном значении параметра с=с0 т. е. - частное решение. Частный интеграл это общий интеграл при частном значении с=с0 т. е. частный интеграл. Геометрический смысл общего решения (общего интеграла): общее решения дифференциального уравнения (3) описывает семейство кривых на плоскости ОХY . Аналогично общий интеграл – семейство кривых на плоскости OXY. Частный интеграл (частное решение) описывает ту кривую на плоскости OXY из семейства кривых, которая проходит через точку с координаты . Решить дифференциальное уравнение это значит: 1. найти его общее решение (или общий интеграл). 2. найти частное решение (или частный интеграл) если заданно начальное условие. В этом случае говорят – решить задачу Коши.