![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
где а1…аn
- константы.
1)
Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами.
где p,
q
= const
его линейно независимые решения будем
искать в виде
,
и подставляем в однородное дифференциальное
уравнение:
,
характеристическое уравнение. Оно
имеет два корня К1
и К2
– либо действительных либо комплексные
– сопряженные.
а)
К1,
К2
– действительные и К1
К2
и
- линейно независимые решения и
б)
К1 и К2 – действительные и К1=К2
их кратность r=2
и
Второе линейно независимое решение
однородного дифференциального уравнения
будем искать в виде
тогда
находим
;
;
если
но k1
– корень характеристического уравнения
то есть
,
более того k1
– корень кратности r=2
то есть
(
;
)
то есть
Нам нужно выбрать
С2=0
и С1=1
Umax:
в случае r=2
то есть
где r>2
при k1=k2
в)
k1
и k2
– комплексно сопряженные корни то есть
и
или два действительных линейно
независимых решения
,
;
;
- формула Эйлера.
Общее
решение:
2)Линейные
однородные дифференциальные уравнения
n-ного
порядка с постоянными коэффициентами.
где а1,
а2
= const
Его линейно независимое решение ищут
в виде
После подстановки его в однородное
дифференциальное уравнение получают
характеристическое уравнение для к:
это алгебраическое
уравнение n-ного
порядка и
имеет ровно n
корней, включая комплексно сопряжённые,
с учётом их кратностей. При этом могут
представиться следующие четыре случая:
а)
Каждому действительному корню ki
кратности =1, соответствует решение
б)
Каждому действительному корню kj
кратности r
соответствует r
линейно независимых решений:
;
;
… ;
в)
Каждой паре комплексно сопряжённых
корней
и
кратности каждой r=1
соответствуют два линейно независимых
решения
и
или два действительных линейно
независимых решения
и
г)
Каждой паре комплексно сопряжённых
корней
и
кратности
соответствует 2
линейно независимых решений:
и
;
и
;…;
и
или 2
действительных линейно независимых
решений:
и
;
и
;…;
и
.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
.
Для его решения вначале находят общее
решение однородного уравнения затем
находят частное решение неоднородного,
тогда общее решение неоднородного
уравнения представляют в виде суммы
решений однородного и частного
неоднородного т. е.
,
где у0
– общее решение однородного
дифференциального уравнения, у*
- частное решение неоднородного
дифференциального уравнения. Теорема:
Если
есть общее решение однородного
дифференциального уравнения
,
а у*
- частное решение неоднородного
дифференциального уравнения
то общее решение у
неоднородного дифференциального
уравнения представляется в виде суммы
этих уравнений, т. е.
.
Доказательство:
Доказательство проведем для случая
n=2,
- общее решение однородного дифференциального
уравнения, а у*
- частное решение неоднородного
дифференциального уравнения
.
(а)
Докажем, что
решение неоднородного дифференциального
уравнения следовательно
или
(т.к.
- у0
– общее
решение однородного дифференциального
уравнения, а
- у*
частное решение неоднородного
дифференциального уравнения).
.
(б)
Докажем, что у=у0+у*
общее решение неоднородного
дифференциального уравнения т. е.
удовлетворяет произвольным начальным
условиям
отсюда следует
или
эта
система двух линейных неоднородных
уравнений имеет единственное решение,
если ее определитель
,
в точке х0
, т.к.
и
- линейно независимы. Общих методов
нахождения всех линейно независимых
решений однородного дифференциального
уравнения не существует исключения
составляет только однородные
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами если же общее решение
однородного дифференциального уравнения
известно
,
то общее решение неоднородного
дифференциального уравнения (а
следовательно и у*)
может быть найдено методом вариаций
произвольных постоянных, для этого
общее решение неоднородного
дифференциального уравнения ищут в
виде
,
далее находят
и накладывают (n-1)
дополнительных условий связывающие
функции
и подставляют производные
,
в исходное неоднородное дифференциальное
уравнение. Объединяя полученные (n-1)
дополнительных условий связывающие
функции
и последнее выражение, получают систему
n
линейных
уравнений относительно функций
и решая которую находят функцию
.
Интегрирую подставляя в
находят общее решение. Выпишем систему:
,
эта система имеет единственное решение.
Докажем для случая n=2:
и
проинтегрируем полученное выражение:
отсюда находим
подставляем
в неоднородное дифференциальное
уравнения:
следовательно
мы получаем:
Из
(*) и
(**)
Замечание:
Система (3)
и (4) имеет
смысл если коэффициент при
в неоднородном дифференциальном
уравнении равен 1.
Замечание:
Если правая
часть неоднородного дифференциального
уравнения функция f(x)
представляет собой сумму нескольких
функций т.е. например
,
то частное решение у*
соответствующей
функции f(x)
имеет также в виде у*=у1*+у2*,
где у1*
соответствует правой части f1(x),а
у2*
соответственно f2(x)
(следует линейность дифференциального
уравнения).