![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Свойства определенного интеграла.
1.
2.
3.
4.
5.
при условии
что интегралы существуют. 6.
Если
для любого
то и
7.
Если f(x)
непрерывна на [a,b],
то
(следует из непрерывности функции).
7. Свойство аддитивности:
Для любых чисел a,b,c
при
условии, что эти
существуют.
(т.е.
– непрерывна на каждом из отрезков).
Действительноно, если а<c<b, то из определения определенного интеграла
a<b<c
Аналогично c<a<b
Теорема о среднем (12)
Если
f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
то существует такая точка
,
что
Действительно по свойству 7. интеграл
или
,
но функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
следовательно существует такая точка
что
где
отсюда и следует терема о среднем
.
Теорема:
Если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a,b]
то она и интегрируема на отрезка [a,b],
т.е. существует
.
Доказательство:
т.к. f(x)
непрерывна то
,
рассмотрим интегральную сумму
т.к.
,
то существует
поскольку
когда
(из непрерывности функции f(x)).
Теорема
(об интегрируемости) Для
того, чтобы
существовал, необходимо и достаточно,
чтобы
была непрерывной на
если
непрерывна на
, то она интегрируема на
Замечание1: из дифференцируемости функции на и её непрерывность на . Обратное утверждение неверно.
Замечание2: из непрерывности на её интегрируемость на , если интегрируема на , то она может быть как непрерывной, так и прерываемой. Таким образом, если имеется точка разрыва на , то она может быть как интегрируемой , так и неинтегрируемой.
Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
рассмотрим
определенный интеграл на
,
непрерывна
на
,
то есть
Если
непрерывна на
,
то производная интеграла
равна
,
т.е.
Доказательство:
дадим
приращение
,
считая, что
непрерывна на
(для
определенности). С геометрической точки
зрения
-
есть площадь криволинейной трапеции,
ограниченной кривой
,
осью абсцисс и прямыми x=a
и x=x
.
Найдем
приращение
По определению производной:
в
силу непрерывности
на
Примечание:
из доказательства теоремы следует, что
является одной из первообразных для
функции
на
.
А так как все первообразные отличаются
друг от друга на постоянную С, то если
первообразная для
на
,
то
или
Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема:
если
непрерывна
на
,
а
-её
первообразная, то
-
формула Ньютона-Лейбница
Доказательство:
из примечания
следует, что
.
При
(по свойству (2))
.
Отсюда
.
Отсюда следует, что при
,
то по свойству (1)
Замена переменной в определенном интеграле (14).
Пусть требуется вычислить интеграл , где непрерывна на .
Сделаем
замену переменной в определенном
интеграле, т.е. сделаем подстановку
.
На функцию
наложим следующие требования:
1) -монотонная, т.е. существует обратная функция.
2)
и
непрерывны на
,
т.е.
тогда
Доказательство: рассмотрим неопределенный интеграл
Тогда
Следовательно
Примечание: при замене переменной в определенном интеграле возвращаться к старой переменной не нужно.