- •Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства (1).
- •Замена переменной в неопределенном интеграле (2).
- •1. Внесение под знак дифференциала
- •2. Замена переменной
- •Интегрирование по частям в неопределенном интеграле (3)
- •Разложение рациональной дроби на простейшие (4).
- •Интегрирование рациональных функций (5-6).
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых тригонометрических
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от линейных иррациональностей, интегралы от дробно линейных иррациональностей (9).
- •1. Интегралы от линейных иррациональностей.
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций интегралы от квадратичных иррациональностей (10)
- •Определенный интеграл и его свойства (11)
- •Свойства определенного интеграла.
- •Теорема о среднем (12)
- •Теорема о дифференцируемости интегралов по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница (13).
- •Замена переменной в определенном интеграле (14).
- •Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
- •Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
- •Вычисление площадей плоских областей:
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
- •Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
- •Применение определенного интеграла к вычислению площадей тел вращения (21)
- •Физические приложения определенного интеграла работа, координаты центра масс плоской фигуры (22).
- •Длина дуги плоской кривой (23).
- •Несобственные интегралы первого рода (несобственные интегралы с бесконечными пределами) (24).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Несобственные интегралы второго рода (несобственные интегралы от разрывных функций) (25).
- •Свойства несобственных интегралов 1го рода.
- •Комплексные числа (26).
- •Многочлены. Корни многочлена. Разложение многочлена на множители (28).
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения (29).
- •Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (30).
- •Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (31)
- •3. Дифференциального уравнения первого порядка приводящейся к однородным:
- •Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли (32).
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель (33).
- •Вынужденные колебания.
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка.
- •Устойчивость решений дифференциальных уравнений по Ляпунову.
Интегрирование по частям в определенном интеграле (15).
Докажем формулу:
, где и непрерывные функции на
Доказательство: так как и непрерывны, то
или , но
Отсюда следует
Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формулы прямоугольников. Формула трапеций (16)
Формулы прямоугольников. Пусть требуется вычислить приближённо: разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками x0=a, x1…xn=b
1.) Первая формула прямоугольника вычисляет интеграл с недостатком.
2.) Вторая формула
прямоугольника вычисляет интеграл с избытком.
Объединяя формулы 1. и 2. Получим:
2. Формула трапеций.
Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей точками x0=a, x1…xn=b Шаг:
Заменим дуги каждой из криволинейных трапеций их хордами
формула трапеции.
Приближённые методы вычисления неопределённых интегралов. Формула параболы (формула Симпсона) (17)
3. Формула параболы (формула Симпсона). Разобьем отрезок [a,b] точками a=x0, x1, x2…x2n=b на 2n равные части с шагом . Заменим дуги каждой из кривых трапеций между точками (x0,x1,x2), (x2,x3,x4) параболами y=Ax2+Bx+C
сумме площадей криволинейных трапеций ограниченных параболами. Найдём площадь каждой из криволинейных трапеций ограниченных параболами. Для этого введём специальную систему координат так, что бы:
Из условий f(xi)=y(0); f(xi-1)=y(-h); f(xi+1)=y(h);
где i=1,2,3…(2n-1);
- формула параболы (Симпсона)
Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей в декартовых координатах и областей заданных параметрически (18).
Вычисление площадей плоских областей:
а). Площадь плоской области в прямоугольники декартовой системы координат: Пусть область S задана уравнениями ; ; ; ; ;
Если f(x) отрицательна :
Если же S ограничена сверху графиком функции , снизу , слева x=a, справа x=b и для всех
Тогда и следовательно
Замечание:
б) площадь плоской области, заданной параметрически.
Пусть область задана параметрически:
Примечание: если область задана параметрически ; . Тогда
Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских областей заданных в полярной системе координат (19).
Пусть область задана уравнением , , т.е. найдем площадь криволинейного сектора. Для этого разобьем область лучами на частей с шагом
Т.к. мало, то Следовательно этот элемент - равнобедренный треугольник с точностью до бесконечно малого. Его площадь (по первому замечательному пределу). Итак или в дифференциальной форме . Следовательно
Примечание: если область задана уравнениями
тогда площадь области равна
Применение определенного интеграла к вычислению объемов тел вращения (20).
а) Пусть область задана уравнениями:
Область вращается вокруг . Найдем этого тела вращения.
Разобьем тело вращения плоскостями перпендикулярными плоскости . Обозначим:
-объем элементарного тела, на которое разделилось тело вращения. Т.к. мало, то
Следовательно
Б) Пусть кривая x=g(y) непрерывна на отрезке [c,d] вращается вокруг оси Оу тогда:
Vy = dy=g(y) Vyi=
В) Кривая y=f(x) определённая и непрерывная на [a,b] вращается вокруг оси OY
Разобьем это тело на элементарные области. Объём тела
Г) Кривая x=g(y) определённая и непрерывная на [c,d] вращается вокруг оси Ox