7)Элементы симметрии кристаллических многогранников. Элементы симметрии I рода.

Элементы симметрии кристаллических многогранников.

Тела, имеющие правильное строение и ограниченные естественно образованными гранями, называются кристаллическими многогранниками.

Симметричным многогранником называется многогранник, который может совместиться сам с собой в результате симметричных преобразований.

Симметрическим называется такое преобразование, в результате которого все равные части фигуры совмещаются друг с другом и фигура совмещается сама с собой.

- поступательное перемещение (трансляция);

- отражение в плоскости;

- поворот вокруг оси;

- отражение в точке (инверсия);

- сочетание (совместное действие) перечисленных выше преобразований.

Элементы симметрии I рода.

К точечным относятся такие преобразования симметрии, при которых хотя бы одна точка кристалла не изменяет своего положения, это: отражение в плоскости, поворот вокруг оси, инверсия, а также сочетание этих преобразований. К пространственным преобразованиям относятся преобразования симметрии, при которых смещаются все точки кристалла, а именно: трансляция и сочетание трансляции с другими преобразованиями симметрии. Элементами симметрии называются геометрические образы (плоскости, прямые линии или точки), с помощью которых задаются или осуществляются симметрические преобразования (операции).

Элементы симметрии I рода связывают друг с другом конгруэнтно равные фигуры (или их части), т. е. фигуры, совмещающиеся при наложении (вложении): правые (П) — с правыми, левые (Л) — с левыми.

Элементы симметрии I рода

Поворотная ось симметрии п-го порядка (L_n или п) — это прямая, при одном полном обороте вокруг которой тело п раз совмещается само с собой всеми своими точками.

Наименьший угол поворота α_п, приводящий тело к самосов-мещению, называется элементарным углом поворота оси симметрии: α_п =360°/п.

Величина угла поворота определяет порядок оси симметрии — п, равный числу самосовмещений при полном повороте на 360° (п = 360°: α ).

Графически поворотные оси изображаются многоугольниками:

В кристаллических многогранниках оси симметрии могут проходить:

• через вершины, в которых сходятся равные ребра;

• через вершины, образованные четным числом граней с попарно равными противоположными двугранными углами;

• через центры граней с числом ребер, кратным порядку оси симметрии;

• перпендикулярно граням или через середины ребер перпендикулярно ребрам.

8) Принцип Кюри.

В кристаллических телах не может быть осей симметрии пятого, седьмого и более высоких порядков.

α = 2π/n CD = a – 2a cosα, откуда a – 2a cosα = Na и сosα = (1-N)/2

Зная, что -1 ≤ cosα ≤ 1, найдем все возможные значения:

Правильными пятитиугольниками нельзя замостить плоскость без перекрытий или зазоров.

9)Операции и элементы симметрии 2-рода.

Плоскость симметрии (Р или т) - это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две равные части так, что одна из частей является зеркальным отражением другой,

Центр симметрии, центр инверсии (С или Ī) - особая точка внутри тела, по обе стороны и на равном расстоянии от которой любая мысленно проведенная через нее прямая встречает одинаковые части тела. При наличии центра симметрии каждая грань пространственной фигуры имеет параллельную и противоположно направленную грань, каждому ребру соответствует равноудаленное, равное, параллельное, но противоположно направленное ребро. У фигуры может быть лишь один центр симметрии.

Инверсионная ось симметрии п-го порядка (L_in или ) – это прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый угол с последующим отражением в центральной точке фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.

Инверсионные оси симметрии сочетают в себе действие поворотной оси того же порядка и действие центра симметрии

L_in = L_n + C

- действие инверсионной оси симметрии первого порядка эквивалентно действию центра симметрии;

- действие инверсионной оси симметрии второго порядка эквивалентно действию зеркальной плоскости симметрии;

• действие инверсионной оси симметрии третьего порядка — совместному действию центра симметрии и проходящей через него поворотной оси симметрии третьего порядка,

• действие инверсионной оси четвертого порядка

является одновременно поворотной осью второго порядка;

• действие инверсионной оси симметрии шестого порядка — совместному действию поворотной оси симметрии третьего порядка и ей перпендикулярной зеркальной плоскости симметрии.

• Внешняя, видимая симметрия кристаллов исчерпывающе описывается элементами симметрии и их сочетаниями.