26. Метод Эйлера описания сплошной среды.

Механика сплошной среды изучает движение газообразных, жидких и твердых деформируемых тел. При этом не учитыва­ется молекулярное строение вещества, а предполагается его не­прерывное распределение. В сплошной среде можно выделить ма­лый объем , имеющий массу , и устремить к нулю. В этом пределе выделенный объем можно рассматривать как мате­риальную точку, или частицу сплошной среды. Сплошная сре­да состоит из бесконечного числа таких частиц и, следовательно, является механической системой с бесконечным числом степеней свободы. Границы между частицами не определены, и поэтому ча­стицы нельзя пересчитать. Для того чтобы различать отдельные частицы плотной среды, можно воспользоваться следующим при­емом. Предположим, что в начальный момент времени положе­ние каждой частицы известно и определяется тремя координатами: x₀, y₀, z₀, или радиусом-вектором . В любой другой момент вре­мени положение этих частиц будет задаваться радиусом-вектором . Здесь координаты x₀, y₀, z₀ радиуса-вектора выделяют индивидуальную частицу среды. Они заменяют номер частицы, используемый в механике системы материальных точек. Однако в отличие от номера частицы начальные параметры x₀, y₀, z₀ изме­няются непрерывно. Выделив таким способом отдельные частицы сплошной среды, для них можно вычислить различные механиче­ские величины. Например, скорость и ускорение частиц сплошной среды определяется по формулам:

, . (8.1)

Частная производная при в механике сплошных сред называется полной производной и обозначается как полная произ­водная. Метод описания сплошной среды, когда все характеристи­ки сплошной среды отслеживаются из начальной конфигурации, называется методом Лагранжа.

По известной зависимости можно найти зависимость . Подстановка зависимости в формулы (8.1) приве­дет к тому, что скорость и ускорение будут зависеть от времени t ( и радиуса-вектора . Таким образом, от задания величин для от­меченных частиц сплошной среды совершается переход к заданию тех же величин во всех точках пространства, где имеется сплошная среда. В результате получаются заданными поле скоростей воле ускорений и ноля других величин, характеризующих сплошную среду. Метод описания сплошной среды, когда все характеристи­ки сплошной среды задаются как функции координат и времени безотносительно к тому, какие частицы сплошной среды они опи­сывают, называется методом Эйлера.

При описании сплошной среды по методу Эйлера для вычисле­ния полных производных по времени для отдельных частиц сплош­ной среды следует радиус-вектор , входящий в аргумент функций, представить как радиус-вектор отмеченной частицы сплошной сре­ды . Например, если плотность сплошной среды задана по методу Эйлера как функция координат и времени , то вычи­сление полной производной по времени от нее даст

, (8.2)

.

По тому же правилу вычисляется поле ускорений сплошной среды:

. (8.3)