26. Метод баланса работ.
Метод основан на законе сохранения энергии. При пластич деформ работе внешних сил на соотв им перемещениях работе внутренни+х сил
– работа деформации формы
- работа сил трения на контакте
- интенсивность скоростей деформации
X,Y,Z – проекция сил действующих на dF,
– проекции в направлениях данных осей.
Определяем деформирующие усилия и удельное давление при гор осадке цилиндра диаметром d и высотой h. Деформ считается осисемитричной при этом делаются допущения:
1.косат напряж 
постоянна
2.деформация однородная
При уменьшении
высоты заготовки на некоторую малу
величину 
работа деформ определяется след образом:
Работа сопротивления
деформ определ: 
Работа сил трения:
Для определения
интенсивности деформации
и перемещения Ме 
необходимо воспользоваться условием
постоянства объема
Т.к рассматриваемая осисеметричная задача то соотв деформ в данном ур-нии записываются:
Т.к на конт пов-ти
деформ 
не
зависит от координаты z
то при однородной деформ
будет равен:
Сварачивая предыд ур-ние пост объема получ:
Интегрирование ур-ния дает след ур-ние для перемещ в радиальном направлении
Постоянная
интегрирования 
находится из граничных условий, т.е при
перемещение 
следовательно 
,
т.о перемещение нах след образом
А деформ 
Деформ 
и
=
м/у собой.
Используя выражение
для интенсивности деформ вида 
И счит 
соотв деформ 
.
Подстановка в последн выр-ие позволяет
определить величину интенсивности
деформ.
После чего подстан в соотв интегралы
–при горячей осадке цилиндра.
44 Инварианты тензора напряжений
Определяем величину главных напряжений и положение главных плоскостей по тензору напряжений в произвольной системе координат.
Проекции соответствующего нормального напряжения на оси координат будут соответственно равны σax, σay, σaz. Учитывая выражения для проекций σx, σy, σz можно записать:
σax = σxax + τxyay + τxzaz
σay = τyxay + σyay + τyzaz
σaz = τzxax + τzyay + σzaz
Перенося в правую часть значения проекций нормального напряжения, получаем систему однородных уравнений.
(σx – σ)ax + τxyay + τxzaz = 0
τyxay + (σy – σ)ay + τyzaz = 0
τzxax + τzyay + (σz – σ)az = 0
Так как направляющие косинусы ax , ay, az одновременно не могут быть равны 0, то равен 0 определитель данной системы:
Раскрываем данный определитель по правилу Крамера, в результате будем иметь следующее кубическое уравнение:
При выводе данного уравнения оси координат были выбраны производно, получили главное напряжение σ1, σ2, σ3. При данном напряжении составляющие имеют единственное значение, таким образом коэффициенты кубического уравнения имеют одни и те же значения независимо от выбора осей координат, т.е коэффициенты кубического уравнения (i1, i2, i3 ) – инвариантный, т.е. независимый при образовании осей координат.
i1, i2, i3 – инвариантный тензора напряжения – линейный, квадратичный и кубический.
i1 – линейный или первый инвариант тензора напряжений.
i1 = σx + σy + σz
i3 – кубический или третий инвариант тензора напряжений.
i2 – второй инвариант тензора напряжений – сумма миноров третьего.
для определения находятся ли точки в одном напряженном состоянии необходимо значения тензоров напряжений подставить в инварианты тензоров напряжений, i1, i2, i3, - точки будут иметь одно напряженное состояние. Если все инварианты тензора напряжений будут равны.
Если на любой стадии подстановки в инварианты тензора напряжений будет недостаточно равенства, то данные точки с соответствующими координатами тензора напряжений будут находится в различных напряженных состояниях.