Вопрос 15

Метод наименьш кв (??????????????????)

Экстремумы (?????????????)

Вопрос 16

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, её производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например,   не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные   до порядка nвключительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ)

Дифференциальное уравнение - это уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значения её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения(ОДУ), в которые входят только функции (и ихпроизводные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Порядком или степеньюдифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в дифференциальное уравнение.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени. Формулировка второго закона Ньютона для материальной точки дает простейший пример обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с неизвестной функцией координат точки и временем, выступающим в роли независимой переменной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)   -ого порядка — это уравнение вида

где   — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной   , штрих означает дифференцирование по   .

Решением дифференциального уравнения называется   раз дифференцируемаяфункция   , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций (такое параметризованное семейство рещений называется общим решением дифференциального уравнения), и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение. Полученное единственное решение называется частным решением. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения   -ого порядка может быть выражено в виде

где   ,   - произвольные постоянные. Если общее решение задано в неявном виде выражением

то это выражение называют общим интегралом дифференциального уравнения.

Уравнение вида

называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Рассмотрим способы решения некоторых его типов.

Для уравнений вида

с заданными граничными условиями доказана теорема существования и единственности.

Пусть в области D плоскости (x, y) функция f (x, y) и ее частная производная   непрерывны. Тогда через каждую точку (x₀; y₀) этой области проходит одна и только одна интегральная кривая.

1. Автономное уравнение

Домножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем обе части получившегося уравнения:   Таким образом, 

2. Уравнение с разделяющимися переменными

Это уравнение сводится к системе

 В первом уравнении после интегрирования находим y как неявную функцию от x: 

3. Однородное уравнение

Пусть   Тогда y = zx и   и 

Задача сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными, где F(x) = f(x) – z, 

4. Линейное однородное уравнение

является уравнением с разделяющимися переменными и интегрируется по частям:   откуда 

Модель 3.17. Линейные дифференциальные уравнения

5. Линейное уравнение

Будем искать решение этого уравнения в виде   где C (x) – неизвестная функция. Тогда   Вычисляя отсюда C (x) и подставляя эту функцию в предыдущее равенство, находим решение y (x).