Вопрос 2
Таблица производных
Производные простых функций
Вывод:
когда xc
и
cxc-1
определены,
c≠0
Вывод:
Вывод:
Так
как 
,
то пусть 
и
Тогда 
Производные экспоненциальных и логарифмичеких фунций
Вывод:
Вывод:
Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций
Вывод:
Производные гипердолических функций
Дифферецирование функций заданных не явно
Пусть ф-я y=f(x) задана уровнением F(x, y)=0, при этом невсезда можно получить явную зависимость y от x.
Пример: y3+sin(x+y)+x2=0, считаем, что y=y(x)
y3(x)+sin(x+y(x))+x2≡0
3 y2(x)y’(x)+(cos(x-y(x)))*(1-y’(x))+2x=0
y’(x)3 (y2(x)-cos(x-y(x)))= -2x-cos(x-y(x))
A(x)= 3 (y2(x)-cos(x-y(x)))
B(x)= -2x-cos(x-y(x))
y’(x)= A(x)/B(x)
Дифферецирование функций заданных параметрически.
t0:
M0(x0,
y0)
yx=dy(x)/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=(dy/dt)/(dx/dt)=
=y’t /x t’=yx’
Логарифмическое дифферецирование.
Пример: y=xsin x |ln
ln y=sin x * ln x | d/dx
1/y(x)*y’(x)=cos x*ln x+sin x/x
y '(x)= xsin x (cos x ln+sin x/x)
Производная обратной ф-и.
Теорема: Если ф-я y=f(x) строго монотонна отр. AB и неприрывна на отр. AB, то она имеет обратну. ф-ю x=x(y) y[c, d], где [c, d] – область значений y=f(x)
Уравнение касательной и нормали к прямой
Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной: y/(x)=limΔx→0ΔyΔx
Δy=f(x+Δx)−f(x).
Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или
y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.
Уравнение
нормали
Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого: tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0) Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем: tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x). Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:
y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).
Вопрос 3
Дифференциал 1 порядка.
Опр. Дифференциа́л — понятие математического анализа, линейная часть приращения функции.
Функция одной или многих переменных f дифференцируема в точке p тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке p»: линейное отображение A такое, что
где ω(x) — это «о малое» от |x-p| при x→p
Геометрический смысл диф-ла.
Т. к. ∆f(x0)= f(x0+∆x)-f(x0)
tg φ=f’(x0)=TL/∆x
f’(x0) ∆x =TL
dy(x0)=TL – приращение ординаты касательной τ в т. x0.
Рисунок
Правила вычисления дифференциала
1.Дифференциал постоянной величины dc=0.
2.Дифференциал сумм d(u+v)=du+dv.
3.Дифференциал произведения d(d·u)=du·v+dv·u.
4.Дифференциал
частного d
=
.
5.Дифференциал сложной функции y=f (u); u=f(x);dy=f ΄(u)·dxu.