48. Свойства перпендикуляра и наклонной (без доказательства).

Теорема - основное свойство перпендикуляра.

Пусть А - некоторая точка, расположенная вне прямой l, В - точка на l такая, что прямая АВ перпендикулярна l, С - произвольная точка на l, отличная от В. Тогда АВ < АС.

То, что прямая АВ перпендикулярна l, можно записать следующим образом: АВ ^ l.

Точку В называют основанием перпендикуляра, опущенного из точки А на l, или проекцией точки А на l.

Утверждение теоремы кратко выражают следующим образом: перпендикуляр меньше любой наклонной (наклонной является АС), или так: кратчайшим путем от точки к прямой является перпендикуляр к прямой.

Теорема 1. Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Теорема 2. Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции .

Теорема 3 (обратная). Если две наклонные, проведённые к прямой из одной и той же точки, имеют равные проекции, то они равны между собой.

Теорема 4. Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то та из них больше, которая имеет большую проекцию на эту прямую.

Теорема 5 (обратная). Если из одной и той же точки проведены к прямой две наклонные, то большая наклонная имеет и большую проекцию на эту прямую.

49. Доказать теорему об отношении площадей подобных многоугольников.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников:

Для тех, кто не знает треугольники называются подобными, если

1. Два угла 1 треугольника соответственно равны 2 углам другого треугольника

2. Две стороны 1 треугольника пропорциональны 2 сторонам другого треугольника и углы, заключенные между сторонами, равны.

3. Три стороны 1 треугольника пропорциональны 3 сторона другого треугольника.

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Пусть треугольники ABC и А1В1С1 подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A=A1, то

S/S1 = AB*AC/A1B1*A1C1

(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А1В1 = k, AC/A1C1 = k

поэтому

S/S1 = k2

Теорема доказана.

50. Неравенство треугольника (без доказательства). Следствие.

Неравенство треугольника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух сторон. Неравенство треугольника иногда включается как аксиома некоторой теории (например, оно включено в определение метрического пространства), в других оно появляется как теорема.

Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю. [П] Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.