- •Геометрия.
- •Доказать один из признаков параллельности прямых.
- •Формула площади круга, кругового сектора и сегмента (без доказательства).
- •Доказать теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.
- •Формула длины окружности, длины дуги окружности (без доказательства).
- •Доказать один из признаков равенства прямоугольных треугольников.
- •Формулы площади правильного многоугольника.
- •Доказать один из признаков равенства треугольников.
- •Формулы, выражающие сторону правильного многоугольника через радиус вписанной окружности.
- •Параллелограмм. Доказать одно из свойств параллелограмма.
- •Центральная симметрия. Свойства центральной симметрии.
- •Общие свойства
- •Д оказать теорему о сумме внутренних углов многоугольника.
- •Формулы площади треугольника, прямоугольного треугольника (без доказательства).
- •Ромб. Доказать основные свойства ромба.
- •Осевая симметрия. Свойства осевой симметрии.
- •Прямоугольник. Квадрат. Доказать основное свойство прямоугольника.
- •Поворот. Свойство поворота трапеции.
- •Трапеция. Виды трапеции. Доказать теорему о средней линии трапеции.
- •Параллельный перенос. Свойства параллельного переноса.
- •Доказать теорему Фалеса.
- •Гомотетия. Свойства гомотетии.
- •Доказать теорему о свойстве касательной к окружности.
- •Замечательные точки треугольника (без доказательства).
- •Центральный угол. Вписанный угол. Доказать теорему об измерении вписанного угла.
- •Формулы для вычисления площади параллелограмма, ромба (без доказательства).
- •Доказать теорему о пропорциональных отрезках.
- •Основные тригонометрические тождества (без доказательства).
- •Доказать один из признаков подобия треугольников.
- •Значение синуса, косинуса и тангенса некоторых углов (без доказательства).
- •Доказать один из признаков подобия прямоугольных треугольников.
- •Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками на плоскости (без доказательства).
- •Доказать теорему Пифагора.
- •32. Уравнение окружности и прямой на плоскости (без доказательства).
- •33. Доказать теорему о высоте прямоугольного треугольника , проведенной из вершины прямого угла.
- •34. Формулы для радиуса вписанной и описанной окружностей.
- •35. Доказать свойство биссектрис угла.
- •36. Теорема о скалярном произведении векторов. Следствие о перпендикулярных векторах (без доказательства).
- •37. Доказать формулу Герона.
- •38. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла 0° до 180° (без доказательства).
- •39. Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд.
- •40. Коллинеарные векторы. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.
- •41. Доказать теорему синусов.
- •42. Площадь квадрата, прямоугольника, трапеции (без доказательства).
- •43. Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника.
- •44. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (без доказательства).
- •45. Доказать теорему косинусов.
- •46. Движение. Свойства движения (без доказательства).
- •47. Доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника.
- •48. Свойства перпендикуляра и наклонной (без доказательства).
- •49. Доказать теорему об отношении площадей подобных многоугольников.
- •50. Неравенство треугольника (без доказательства). Следствие.
36. Теорема о скалярном произведении векторов. Следствие о перпендикулярных векторах (без доказательства).
Определение. Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90o.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается так:.
Теорема. Скалярное произведение векторов {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} выражается формулой
= x1x2+ y1y2+ z1z2
Следствие 1. Ненулевые векторы {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2+ y1y2+ z1z2 = 0.
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами {x1; y1; z1} и {x2; y2; z2} выражается формулой
37. Доказать формулу Герона.
Формула Герона выражает площадь треугольника через длины трех его сторон.
Теорема (формула Герона). Площадь треугольника со сторонами a, b, c и полупериметром p равна выражению:
Доказательство. Пусть O - центр вписанной в треугольник ABC окружности, r - ее радиус
.
Соединив центр O с вершинами A, B и C, получим треугольники AOC, BOC и AOB с высотами, равными r.
Согласно свойству площадей:
пл. треугольника ABC=пл. треугольника AOC+пл. треугольника AOB+пл. треугольника BOC=
= 1/2 b . r+1/2 c . r+1/2 a . r=r/2 (a+b+c)=p . r.
Выражая r через стороны треугольника a, b и с, получаем
Тогда ,
что и требовалось доказать.
38. Определение синуса, косинуса и тангенса для любого угла 0° до 180° (без доказательства).
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
39. Доказать теорему об отрезках пересекающихся хорд.
Хорда - отрезок, соединяющий две точки, лежащие на окружности.
Теорема об отрезках хорд. Если две хорды одной окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство.
Проведём BC и AD.
по двум углам (опираются на одну дугу) и (вертикальные) => =>.