32. Уравнение окружности и прямой на плоскости (без доказательства).

уравнении прямой на плоскости. Любое уравнение первой степени относительно неизвестных х и у является уравнением прямой на плоскости: АX + ВY + С = 0

Оно может быть записано в некоторых специальных видах:

а) уравнение с угловым коэффициентом у= kx+b , где k - угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Ох , а свободный член b - ордината точки пересечения графика и Оу.

-отрезок, отсекаемый графиком на оси оу

б) уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х0 ,у0) у-у0 = k(х-х0 )

в) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (х1у1) и (х2у2)

Общее уравнение окружности записывается как:

или

где

Точка — центр окружности, — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

33. Доказать теорему о высоте прямоугольного треугольника , проведенной из вершины прямого угла.

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник называется прямоугольным. Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника

Если высота длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

34. Формулы для радиуса вписанной и описанной окружностей.

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной окружности может быть найден по формулам

Где:

• стороны треугольника,

угол, лежащий против стороны ,

• площадь треугольника.

P полупериметр треугольника.

35. Доказать свойство биссектрис угла.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Дано: А АВС — равнобедренный треугольник, АВ — основание, CD — медиана (рис. 22).

Доказать: CD — биссектриса и высота.

Доказательство. Треугольники CAD и CBD равны но второму признаку равенства треугольников (стороны АС и ВС равны, так как АВС — равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Стороны AD и BD равны, поскольку D — середина отрезка АВ).

Из равенства треугольников CBD и CAD следует равенство углов:

Так как углы ACD и BCD равны, то CD — биссектриса. Поскольку углы ADC и BDC смежные и равны друг другу, они прямые. Следовательно, отрезок CD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Таким образом, установлено, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также следующие утверждения:

1. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.