44. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника (без доказательства).

45. Доказать теорему косинусов.

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема Пифагора это частный случай теоремы косинусов о которой я поведу речь. Теорема косинусов имеет вид:

a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos(A)

Cos(A) это угол лежаший напротив стороны a (обычное обозначение сторон и углов: напротив стороны "а" лежит угол A, "b" лежит угол B, "c" лежит угол C).

Доказательство теоремы не очень сложное, судите сами: Введем систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке. Тогда точка В имеет координаты (с;0), а точка С - (b cos A; b sin A). По формуле расстояния между двумя точками получаем

ВС2 = а2 = (b cos(A) - c)2 + b2Sin2(A) =

= b2Cos2(A) + b2Sin2(A) - 2*bcCos(A) + c2 =

= b2 + c2 - 2*bcCos(A)

Теорема доказана.

46. Движение. Свойства движения (без доказательства).

Теорема.

Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Доказательство.

Пусть есть три точки A, B и С, которые лежат на одной прямой и точка B лежит между точками A и С.

Докажем, что точки A`, B` и C` лежат на одной прямой.

Если точки A`, B` и C` не лежат на одной прямой, то эти точки являются вершинами треугольника. Поэтому A`C`Докажем, что B` лежит между A` и C`. Тогда выполняются равенства AB=A`B`, AC=A`C`, BC=B`C`, AB+BC=AC. Отсюда следует, что A`B`+B`C`=A`C`. Это означает, что точка B` лежит между точками A` и C`.Теорема доказана.

Следствие из теоремы

1.Отрезок движением переводится в отрезок.

2.Луч при движении переходит в луч, прямая – в прямую.

3.Треугольник движением переводится в треугольник.

Теорема.

При движении сохраняются углы между полупрямыми.

Пусть полупрямые AB и BC не лежат на одной прямой и образуют угол. При движении полупрямые переходят в A`B` и A`C` соответственно. Проведем отрезок BC и B`C`. Получим треугольник ABC и A`B`C`. Так как при движении расстояния сохраняются, то треугольники ABC и A`B`C` равны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно углы ABC и A`B`C` равны. Теорема доказана

47. Доказать теорему о сумме внутренних углов треугольника.

Теорема

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего сторон, равна .

Доказательство:

Если какую-то точку внутри выпуклого многоугольника соединить со всеми вершинами, то получится столько же треугольников, сколько сторон у многоугольника . Сумма внутренних углов всех треугольников равна , а сумма углов данного многоугольника меньше на (полный угол при вершине ) и равна .