- •Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.
- •1.Понятие функции нескольких переменных; ее область определения. Предел функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке. Примеры.
- •2.Частное приращение функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных. Примеры.
- •3.Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Формула для приближенных вычислений. Геометрический смысл дифференциала.
- •4.Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.
- •5.Частные производные 2-го порядка.
- •6.Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
- •7.Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
- •8.Свойства неопределенного интеграла.
- •9.Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.
- •10.Метод интегрирования по частям. Примеры.
- •11.Двукратное интегрирование по частям на примере Найти неопределенный интеграл
- •12.Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.
- •Интегрирование выражений, сод-х квадратный трехчлен
- •14.Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Примеры.
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •15. Интегрирование тригонометрических функций.
- •16.Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.
- •17.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.
- •18.Свойства определенного интеграла.
- •19.Свойства определенного интеграла: теорема об интегрировании неравенств, теоремы об оценке интеграла.
- •Теорема о среднем
- •26.Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.
- •27.Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения.
- •28. Ду с разделяющимися переменными. Пример.
- •29. Геометрическая интерпретация общего решения и решения задачи Коши.
- •30.Линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнения Бернулли.
- •31.Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка.
- •32. Метод Эйлера нахождения общего решения олду II с постоянными коэффициентами.
- •33.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка.
- •34.Метод вариации произвольной постоянной.
- •35.Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.
- •36.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида и .
- •37. Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд
- •38.Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры.
- •39.Признак Даламбера и Коши для знакоположительных рядов. Примеры.
- •40.Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда .
- •41.Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа.
- •42.Признак Лейбница.
4.Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.
Теорема.Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.
Доказательство.
Пусть а=f(x0). Тогда из дифференцируемости f(x) в х0 следует, что приращение у= f(x0+х) - f(x0) можно представить в виде у=ах+ах=(а+а) х, где а=а(х)0 при х0. Так как а не равно нулю, то отсюда следует, что х0, когда у0. Имеем
g(y0)= lim g(y+y)-g(y0) = lim x =lim y-1 = 1 .
y0 y y0 y y0 x f(x0)
Теорема.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.
Доказательство.
Функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, поэтому её приращение можно представить как y=f(x0)+a(x)*x. Где x0 при t0 поскольку функция g(t) непрерывна (следствие дифференцируемости) в точке t0. Так как а(x)0 при x 0 и при t0. Поэтому
d f(g(t))|t=to=lim (f(x0)) x +a(x) x =
dt t0 t t
=f(x0)g(t0)+0*g(t0)= f(x0)g(t0).
5.Частные производные 2-го порядка.
Для ф-и 2-х переем-х сущ 4 части произв-х 2 порядка:
6.Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.
Точка М0 явл-ся т-ой локального минимума для ф-ции 2-х перемен-х, если для любой т. М из сколь угодно малой окр-ти точки Мо выполн-ся нерав-во f(Mo)<f(M)^min, f(Mo)>f(M)^max. Точки мах и мин ф-ии наз-ся точками экстремума этой ф-ии. Необх усл: Если ф-я z=f(x,y) в т. Мо(Xo,Yo) имеет экстремум, то либо все её частные произв-е 1-го порядка в этой т. =0, т.е. , , либо хотя бы одно из них не сущ-ет. достаточн. усл-е Пусть А= , B= ,C= , в критич точке и = АС-В^2. Тогда если 1. , то ф-ия имеет в т. Мо макс-ум. 2. . , то мин-ум.3. , то в т. Мо экстремума нет.4. , требуются исслед-я.
7.Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
Таблица инт-ов. Если на ф-ю y=F(x) подейст-ть оператором диференц-я, то будет найдена 1-я произв. ф-ии. Однако можно произвести обр-ю процедуру с помощью интегрир-я. Эта процедура обзнач-ся символом неопр. Инт-ла , где f(x) поинт. ф-я, f(x)dx подинт. выраж. Для ф-ии y=f(x), ф-я F(x) наз!ся первообр., если F`(x)=f(x). Для одной ф-ии может быть найдено мн-во первообр, к-е будут отлич-ся друг от др. произв. конст. Неопр. Инт. Ф-и f(x) восстан!ет всевозможн. первообр. для f(x).
8.Свойства неопределенного интеграла.
1. (f(х)dх)'= f(х)
2. df(х)dх)'=f(х)dх
3. dF(х)=F(х)+С
4.kf(х)dх=kf(х)dх, k0.
5.(f(х)g(х))dх= f(х)dхg(х))
9.Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.
∫f(x)dx, x D
Пусть x = φ(t), t T, φ(t) – дифференцируема на T и имеет обратную функцию
Докажем, что ∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt, т. е. докажем, что ∫f(x)dx – первообразная f(φ(t))•φ’(t)
(∫f(x)dx)t’(по правилу дифференцирования сложной функции) = (∫f(x)dx)x’ • x’t = f(x)•φ’(t) = f(φ(t))•φ’(t)
∫ f(x)dx = ∫f(φ(t)) • φ’(t)dt – формула замены переменной в неопределенном интеграле