32. Метод Эйлера нахождения общего решения олду II с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида: называется дифференциальным уравнением Эйлера.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины вычисляются по формуле: :

y' = f(x, y), y(a) = , x ∈ [a, b],

= a + ih, h = (b-a)/N, i = 0,1 , 2, ..., N,

y( )≈ ,

.

33.Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка.

Дифференциальное уравнение вида

y′′ + py′ + qy = f (x), (1) где p,q—константы, f (x)—заданная функция называется линейным неонородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема (структура общего решения ЛНДУ).

Общее решение линейногоу неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ (1) есть сумма

y(x) = y *(x)+ (*)

некоторого частного решения y *(x) неоднородного ДУ (1) и общего решения однородной части ДУ (1), т.е. решения для ДУ вида

y′′ + py′ + qy = 0. (**)

Здесь , линейно независимые решения для ДУ (**), а ,

—произвольные постоянные.

34.Метод вариации произвольной постоянной.

y’’+py’+qy=f(x) (1) с пост. коэффициентом. Общее решение ур-я 1 можно записать в виде , где yo – общее решение соответств. однородного ур-я y’’+py’+qy=0, а y*- частное решение ур-я 1. Одним из способов найти частное реш-е ур-я 1 является метод вариации произвольной постоянной Лагранжа:

y0=C1y1(x)+C2y2(x) y(x),y’(xa) – находимая ф-ция,

y*=c1(x)y1(x)+c2(x)y2(x) с1(x)c2(x) – коэф. ф-ции

c1’(x)y1(x)+c2’(x)y2(x)=0 (2) f(x) – прав. часть ур-ня (1)

c1’(x)y1’(x)+c2’(x)y2’(x)=f(x) (3)

(2) и (3) – система уравнений

35.Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.

Числовым рядом наз-ся бесконечная последовательность чисел, соединенная знаком сложения: а1+а2+…+ак +…=∑_к=1^∞ак.

Где а1,…,ак- члены числового ряда

Введем след. Обозначения: Sк = ∑_к=1^каi = а1+а2+…+ак - n-ая частичная сумма числового ряда: к=1, то Sк=а1,к=2, то Sк=а1+а2,…к: Sк = а1+а2+…+ак, т.е. видно, что частичная сумма образует числ. Последовательность.

Числ ряд наз сходящимся, и его сумма в этом случае будет равна S, если сущ-т конечные предел последовательности частичных сумм, котрый равен S: LimSk=S, k→∞. В противном случае числ ряд расходится.

36.Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида и .

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм , то ряд (1) называется сходящимся, а число S ― суммой

ряда и записывается этот факт как . Если

не существует или равен бесконечности, то ряд (1)

называется расходящимся.

Ряд , (2)

составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q, называется геометрическим рядом. Если |q| < 1, то ряд (2) сходится и его сумма равна ; если q ≥ 1, то ряд (2) расходится.

Д-во:

Ряд , называемый гармоническим рядом, расходится.

Док-во. Пусть . Тогда

Но с другой стороны . Тогда

равенство невозможно. Противоречие.

Обобщенный гармонический ряд сходится, если p > 1 и расходится, если p ≤ 1.